Genèse de la cohomologie cristalline

Martin Baget

Avec comme ligne de mire les conjectures de Weil (1949), les mathématiciens mirent au point dans les années 50 et 60 un grand nombre de théories cohomologiques adaptées à la géométrie algébrique. Ce fut tout d'abord la cohomologie des faisceaux (Cartan-Eilenberg, Serre, Grothendieck), sous-entendu pour la topologie de Zariski, puis vient la plus connue de toutes : la cohomologie étale, et les cohomologies $\ell$-adiques qui en découle, qui permirent effectivement la résolution des conjectures de Weil.

Un domaine était déjà à l'époque particulièrement actif et l'est resté depuis : c'est l'étude des cohomologies $p$-adiques. Il est déjà apparent dans le cas des variétés abéliennes qu'en caractéristique $p$, le module de Tate $p$-adique ne donne pas la dimension voulue pour le premier groupe de cohomologie. L'explication est vite trouvée : le morphisme de multiplication par $p$ n'est pas étale, et ainsi le schéma de $p^n$-torsion admet des informations infinitésimales, et ne peut pas être réduit à la connaissance de ses points sur une clôture algébrique. Une théorie s'est développée dans les années 50 pour étudier en détails ce cas, qui a conduit à associer à une telle variété abélienne un module sur l'anneau des vecteurs de Witt, dit module de Dieudonné, muni de certains endomorphismes, qui remplace le module de Tate.

Un autre travail important est dû à Paul Monsky et Gerard Washnitzer, en 1964. L'année précédente, Grothendieck avait introduit la cohomologie de De Rham algébrique, mais qui semblait défaillante en caractéristique $p$. Monsky et Washnitzer montrent cependant que, partant d'une algèbre lisse en caractéristique $p$, la cohomologie de De Rham d'un relèvement adapté de celle-ci en caractéristique zéro est indépendante du relèvement choisi. Mais l'hypothèse de l'existence d'un relèvement en caractéristique zéro empêche d'étendre cette théorie à tous les schémas de caractéristique $p$, certains n'admettant pas de tels relèvements. Partant de ce résultat, Grothendieck chercha une définition intrinsèque de cette théorie, ne faisant pas mention d'un quelconque relèvement. L'aboutissement de sa réflexion est la cohomologie cristalline - mais qui ne répond pas au problème initial ! Avant de parler des « défauts » de la cohomologie cristalline, il faut quand même préciser que celle-ci permet une autre grande avancée : elle permet de se débarrasser de l'hypothèse de lisseté. Aussi si la définition de la cohomologie cristalline paraît si lointaine de celle de la cohomologie de De Rham, c'est avant tout pour traiter le cas non-lisse ; Deligne et Illusie ont par la suite introduit le complexe de De Rham-Witt qui permet de retrouver la cohomologie cristalline dans le cas lisse, et est bien plus proche dans l'esprit de la cohomologie de De Rham.

On a dit que la cohomologie cristalline ne répond pas au problème initial : c'est que cette théorie ne coïncide pas en effet avec celle introduite précédemment par Monsky et Washnitzer dans le cas affine, et donne au contraire dans ce cas là des espaces pathologiques, notamment de dimension infinie. Grothendieck remarque lui-même cette défaillance dans la série d'exposés à Princeton où il introduit pour la première fois la cohomologie cristalline. Il écrit à ce sujet dans Récoltes et semailles :

Quand je parle ici de “cohomologie cristalline” dans un contexte où on abandonne des hypothèses de propreté (comme il est nécessaire pour un formalisme “pleinement adulte”), il est entendu qu’on travaille avec un site cristallin dont les objets sont des “épaississements” (à puissance divisées) qui ne sont pas purement infinitésimaux, mais sont des algèbres topologiques (à puissances divisées) “convenables”. Le besoin d’une telle extension du site cristallin primitif (qui pour moi n’était qu’une première approximation pour la “bonne” théorie cristalline) était clair pour moi dès le départ. (Note 91. Les cohéritiers...)

La cohomologie cristalline donne malgré cela une théorie satisfaisante dans le cas propre, développée en premier lieu par son élève Pierre Berthelot. Berthelot a plus tard défini une autre théorie, la cohomologie rigide, qui réconcilie les cohomologies de Monsky-Washnitzer et cristalline, mais au prix de travailler modulo torsion. Nous ne l'étudierons pas dans ce mémoire.

La première partie est consacrée essentiellement à la reformulation de la cohomologie de De Rham par le site infinitésimal - précurseur du site cristallin, et d'ailleurs appelé à l'origine site cristallogène par Grothendieck. La deuxième partie donne divers points de vue sur la cohomologie cristalline.

Ce document constitue le rapport de mon stage mené à l'université de Milan au printemps 2025 sous la supervision d'Alberto Vezzani. Je le remercie tout naturellement pour son accueil à Milan, et pour m'avoir guidé vers certains aspects plus modernes autour de la cohomologie cristalline. Grazie!

I. Sur la cohomologie de De Rham algébrique

La cohomologie de De Rham, introduite en 1931, fut développée dans le contexte dans variétés différentielles. Dans les années 60, cette théorie a connu une série de profonds changements, principalement dus à Grothendieck, afin de l'étendre du cas des variétés différentielles à celui de schémas quelconques. On en retrace quelques étapes :

la première étape est de comprendre la cohomologie d'une variété analytique complexe seulement en termes analytique, sans utiliser la structure différentielle. En effet, la cohomologie du complexe des formes différentielles complexes - par opposition aux formes différentielles réelles - ne calcule pas la cohomologie de De Rham ! C'est la notion d'hypercohomologie, introduite par Grothendieck, qui permet de résoudre ce problème : Grothendieck prouve que l'hypercohomologie du complexe des formes différentielles complexes calcule bien la cohomologie de De Rham ;
Grothendieck (On the De Rham cohomology of algebraic varieties, 1963) introduit aussi la cohomologie de De Rham algébrique, en utilisant le module des différentielles de Kähler à la place des formes différentielles. Il démontre que pour une variété complexe lisse, cohomologie de De Rham algébrique et classique coïncident. Dans son article, Grothendieck soulève la question de savoir si la cohomologie de De Rham algébrique donne les bons nombres de Betti en caractéristique $p$, question qui sera répondue négativement par Serre ;
l'idée fondamentale pour traiter le cas des variétés algébriques en caractéristique $p$ est due à Monsky et Washnitzer : il s'agit de considérer la cohomologie de De Rham d'un relèvement de la variété en caractéristique zéro, cohomologie qui devrait être indépendante du relèvement choisie. Monsky et Washnitzer parviennent ainsi à définir une cohomologie sur les variétés affines lisses, mais bloquent sur la preuve de résultats basiques que l'on souhaiterait (comme le fait que les espaces de cohomologie sont de dimension finie) ;
dans un séminaire à la fin de l'année 1966, Grothendieck met en avant le principal problème qui empêche de travailler avec la cohomologie de De Rham : elle ne fonctionne que dans le cas lisse, ce qui empêche par exemple d'étudier un morphisme en regardant ses fibres (celles-ci ne sont plus forcément lisses). Même dans le cas classique, la cohomologie de De Rham coïncide en effet avec la cohomologie singulière uniquement dans le cas lisse. Pour résoudre cela, Grothendieck introduit un site, le site infinitésimal, dont il prouve qu'il calcule canoniquement la cohomologie de De Rham dans le cas lisse, et dont il conjecture que la cohomologie coïncide avec la cohomologie singulière même dans le cas singulier (conjecture prouvée par Hartshorne, On the de Rham cohomology of algebraic varieties, 1975) ;
si la cohomologie infinitésimale permet de travailler dans le cas singulier, elle ne donne toutefois toujours pas les bons nombres de Betti pour une variété en caractéristique $p > 0$. Grothendieck définit en conséquence une variante du site infinitésimal, le site cristallin, qu'il pense plus adapté à ce cas : c'est la naissance de la cohomologie cristalline.

Cette partie est consacrée à l'introduction du site infinitésimal et à la preuve du théorème de comparaison entre cohomologie de De Rham et cohomologie infinitésimale. La troisième section donne un point de vue plus moderne, en terme de champ, mais qui est essentiellement équivalent.

I.1. Site infinitésimal, site stratifiant et connexions

On commence par énoncer directement la définition du site infinitésimal (nommé ainsi car il est défini en considérant toutes les manières d'ajouter des informations infinitésimales - ou nilpotentes - aux ouverts de Zariski de notre schéma), ainsi que le théorème que l'on souhaite prouver.

Définition - site infinitésimal (Alexandre Grothendieck, 1966)

Soit $X$ un schéma sur $S$. On appelle site infinitésimal de $X$ au-dessus de $S$, noté $\text{Inf}(X/S)$, la catégorie dont :

les objets sont les $S$-immersions fermées $ U \subseteq T$, où $U$ est un ouvert de $X$, et où l'idéal définissant cette immersion est nilpotent ;
les morphismes entre $U \subseteq T$ et $U' \subseteq T'$ sont ceux de $T$ dans $T'$ induisant une immersion ouverte de $U$ dans $U'$ ;

et qui est muni d'une structure de site en posant :

les recouvrements d'un objet $U \subseteq T$ sont les familles $(U_i \subseteq T_i)$ où $(T_i)$ est un recouvrement ouvert de Zariski de $T$.

On a un faisceau en anneaux canonique sur le site infinitésimal, envoyant $U \subseteq T$ vers $\ri_T(T)$. On note ce faisceau $\ri_{(X/S)_{\text{inf}}}$ ou simplement $\ri$ lorsque cela ne porte pas à confusion.

Théorème - de comparaison De Rham-infinitésimal (Alexandre Grothendieck, 1966)

Soit $X$ un schéma lisse sur $S$, avec $S$ de caractéristique zéro. Alors on a un isomorphisme canonique
$$ H^*((X/S)_{\text{inf}}, \ri) \simeq H^*_{DR}(X/S) $$

On rappelle la définition de la cohomologie de De Rham algébrique. Si $B$ est une $A$-algèbre, l'anneau des différentielles de Kähler $ \Omega_{B/A}^1$ est usuellement défini comme le $B$-module universel muni d'une dérivation $A$-linéaire. On montre que cette construction se recolle, si bien que si $X$ est un $S$-schéma, on a un faisceau des différentielles de Kähler $\Omega_{X/S}^1$. Pour $n \in \N$, on définit ensuite $\Omega_{X/S}^n$ avec des puissances extérieures :
$$\Omega_{X/S}^n = \overset{n}{\wedge} \ \Omega_{X/S}^1$$ et on montre que l'on a des morphismes $d^n : \Omega_{X/S}^n \to \Omega_{X/S}^{n+1}$ uniquement déterminés par les relations
$$ d^n(x_0 dx_1 \wedge ... \wedge dx_n) = dx_0 \wedge dx_1 \wedge ... \wedge dx_n $$ pour $U$ un ouvert de $X$, $x_0, ..., x_n \in \ri_X(U)$, $d = d^0$ la dérivation universelle associée au faisceau des différentielle de Kähler. La vérification de l'existence de tels morphismes est un calcul que l'on passera. Une fois cela acquis, on a donc un complexe
$$ 0 \to \ri_X \overset{d}{\to} \Omega_{X/S}^1 \overset{d^1}{\to} \Omega_{X/S}^2 \overset{d^1}{\to} ... $$ et la cohomologie de De Rham algébrique est définie comme l'hypercohomologie de ce complexe.

Il est important pour notre discussion de prendre note qu'il existe une autre définition possible du faisceau des différentielles de Kähler : si $\mathcal{I}$ désigne l'idéal de définition de la diagonale dans le produit $X \times_S X$, alors il s'agit du tiré en arrière par la diagonale du faisceau quotient $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$. Une légère reformulation encore est la suivante : le faisceau des différentielles de Kähler est le tiré en arrière par la diagonale de l'idéal de définition de $X$ dans $\Delta_2^2$, le voisinage infinitésimal à l'ordre $2$ de $X$ dans $X \times_S X$. Cette reformulation des différentielles de Kähler en terme de voisinage infinitésimal se révélera être le point de départ de tous les développements qui vont suivre pour donner à la cohomologie de De Rham un cadre plus flexible, utilisant les voisinages infinitésimaux de $X$ de tout ordre.

La preuve que Grothendieck donne du théorème de comparaison ci-dessus utilise un autre site, le site stratifiant, défini ainsi :

Définition - site stratifiant (Alexandre Grothendieck, 1966)

Soit $X$ un schéma sur $S$. On appelle site stratifiant de $X$ au-dessus de $S$, noté $\text{Strat}(X/S)$, la sous-catégorie pleine du site infinitésimal consistant en les objets $U \subseteq T$ tels qu'il existe localement une rétraction $T \to X$, cette sous-catégorie étant munie de la topologie induite.

Le fait de supposer (localement) l'existence d'une rétraction rend le site stratifiant plus facile à manier, et c'est donc lui que l'on va utiliser dans la démonstration. Dans le cas où $X$ est lisse au-dessus de $S$, les deux sites sont en fait équivalents, comme cela se déduit du critère suivant :

Proposition - critère de lisseté formelle (Alexandre Grothendieck)

Soit $X$ un schéma lisse au-dessus de $S$. Alors pour tout diagramme commutatif
$$ \begin{CD} R \ = \ \Spec(A/I) @>>> X \\ @VVV @VVV \\ T \ = \ \Spec(A) @>>> S \end{CD} $$ où $A$ est un anneau et $I$ un idéal nilpotent de $A$, il existe un morphisme $T \to X$ faisant commuter le diagramme.

Si $U \subseteq T$ est un objet du site infinitésimal, alors quitte à se restreindre à un ouvert plus petit et prenant $R = U$, on voit que l'existence (localement) d'une rétraction est automatique dans le cas lisse, d'où l'égalité entre les deux sites. Grothendieck conjecture que pour des variétés complexes, les sites infinitésimal et stratifiant donnent tous les deux la « bonne » cohomologie, même dans le cas singulier - ce qui n'est pas le cas de la cohomologie de De Rham.
Le principal intérêt du site infinitésimal, par rapport au site stratifiant, est pour les variétés de caractéristique $p > 0$. Typiquement, l'immersion fermée $\Spec(\F_p) \to \Spec(\Z/ p^n \Z)$ pour un $n \geqslant 2$ n'admet pas de rétraction. La conséquence de cela est que la cohomologie stratifiante d'une variété de caractéristique $p > 0$ donne des espaces vectoriels sur un corps fini, là où la cohomologie infinitésimale va permettre de construire des modules sur l'anneau des vecteurs de Witt du corps de base - qui est donc un corps de caractéristique zéro, ce qui permet d'interpréter cohomologiquement la fonction zêta à partir de la formule des traces de Lefschetz. On verra cependant que la « bonne » cohomologie (pour les variétés propres) en caractéristique $p > 0$, la cohomologie cristalline, nécessite encore de modifier légèrement la définition du site infinitésimal.

Connexions, stratifications et site stratifiant. La notion de connexion provient de la géométrie différentielle. L'idée est d'identifier localement les espaces tangents sur une variété différentielle et de pouvoir ainsi transporter un vecteur tangent le long d'un chemin. La définition usuelle de connexion, faisant apparaître le faisceau des différentielles, peut être adapté au cas de la géométrie algébrique en utilisant les différentielles de Kähler et donne une notion intéressante. Cependant, en général, et surtout pour travailler en caractéristique $p > 0$, cette notion est insuffisante et on a besoin de définir les $n$-connexions pour tout entier $n > 0$ (une connexion classique correspondant à une $1$-connexion).

Définition - $n$-connexion, stratification (Alexandre Grothendieck)

Soit $X$ un schéma au-dessus de $S$. Pour un entier $n \in \N^*$ donné, on note $\Delta_2^n$ le $n$-ème voisinage infinitésimal de la diagonale dans le produit $X \times_S X$, $\Delta_3^n$ le $n$-ème voisinage infinitésimal de la diagonale dans le triple produit $X \times_S X \times_S X$, et on considère les projections suivantes :
$$ X = \Delta_1^n \begin{array}{c} \overset{p_1^n}{\leftarrow} \\ \underset{p_2^n}{\leftarrow} \end{array} \Delta_2^n \begin{array}{c} \overset{p_{12}^n}{\leftarrow} \\ \overset{p_{23}^n}{\leftarrow} \\ \underset{p_{13}^n}{\leftarrow} \end{array} \Delta_3^n $$ Étant donné un module $M$ sur $X$, on appelle $n$-connexion sur $M$ la donnée d'un isomorphisme $\varphi : (p_1^n)^* M \simeq (p_2^n)^* M$ vérifiant la condition suivante :
$$ (p_{23}^n)^*(\varphi) \circ (p_{12}^n)^*(\varphi) = (p_{13}^n)^*(\varphi) $$
Si l'on remplace les $n$-èmes voisinages infinitésimaux par des complétions formelles de la diagonale, alors on obtient la notion de stratification. Autrement dit, une stratification sur un module $M$ est la donnée d'une famille de $n$-connexions pour tout $n \in \N^*$, compatibles entre elles à travers l'inclusion du $n$-ème voisinage infinitésimal dans le $n+1$-ème.

Intuitivement, la donnée d'une $n$-connexion revient à identifier les fibres du module $M$ en deux points $x$, $y$ « infiniment proches » à l'ordre $n$. La condition de compatibilité que doit vérifier l'isomorphisme revient à dire que si l'on a trois points $x$, $y$, $z$, tous trois « infiniment proches » à l'ordre $n$, et que si l'on identifie d'abord les fibres en $x$ et $y$, puis celles en $y$ et $z$, alors la composée de ces deux identifications redonne l'identification entre les fibres en $x$ et $z$ - en d'autres termes : cette identification est indépendante du chemin choisi pour aller de $x$ à $z$.

Il nous faut faire une autre remarque particulièrement importante pour la compréhension de ce qui va suivre : c'est que les espaces topologiques sous-jacents aux $\Delta_2^n$ pour tout $n \in \N^*$ sont les mêmes, égaux à celui de $X$ - puisque ce sont tous des voisinages infinitésimaux de $X$. En conséquence, les catégories de faisceaux sur tous ces espaces s'identifient naturellement entre elles. Ainsi, si l'isomorphisme $(p_1^n)^* M \simeq (p_2^n)^* M$ est à priori une égalité entre faisceaux sur $\Delta_2^n$, on peut aussi le voir comme une égalité entre faisceaux sur $X$. On le fera implicitement en permanence, puisque cela permet de considérer tous les faisceaux comme vivant sur le même espace. Vus comme endofoncteurs des $\ri_X$-modules, $(p_1^n)^*$ et $(p_2^n)^*$ correspondent tous deux au produit tensoriel par $(\ri_X \otimes_{\ri_S} \ri_X)/\mathcal{I}^n$ - $\mathcal{I}$ étant l'idéal de définition de la diagonale dans $X \times_S X$, la différence tient à la structure de $\ri_X$-module : dans un cas la multiplication agit à gauche du produit tensoriel, dans l'autre cas à droite.

On veut maintenant montrer comment la donnée d'un module $M$ stratifié sur $X$ au-dessus de $S$ permet de construire un faisceau $\tilde{M}$ sur le site stratifiant $\text{Strat}(X/S)$. Soit donc $U$ un ouvert de $X$ et $U \subseteq T$ un épaississement infinitésimal admettant une rétraction $r : T \to X$ (quitte à se restreindre à un ouvert plus petit, on peut toujours supposer cela, par définition du site stratifiant). On veut alors poser
$$ \tilde{M}(U \subseteq T) = r^* M $$ mais il n'est pas clair que cela est indépendant de la rétraction $r$ choisie. L'existence d'une stratification va exactement permettre d'identifier canoniquement $r^* M$ et $r'^* M$ pour deux rétractions $r, r'$. Cela est dû au lemme suivant :

Lemme

On considère un diagramme commutatif de la forme
\begin{xy} \xymatrix{ R \ar[r] \ar@{^{(}->}[d] & X \ar[d] \\ T \ar[r] \ar@/^/[ru]|r \ar@/_/[ur]|{r'} & S } \end{xy} où $R \xhookrightarrow{} T$ est une immersion fermée définie par un idéal nilpotent d'indice $\leqslant n$. Alors il existe un unique morphisme $T \to \Delta_2^n$, $\Delta_2^n$ étant le $n$-ième voisinage infinitésimal de la diagonale, qui permette de factoriser $r$ et $r'$ respectivement par les projections canoniques comme ci-dessous :
\begin{xy} \xymatrix { T \ar[rd] \ar@/^/[rr]|r \ar@/_/[rr]|{r'} && X \\ & \Delta_2^n \ar@/^/[ru]|{p_1^n} \ar@/_/[ru]|{p_2^n} } \end{xy}

▼ Preuve

Par la propriété universelle du produit, on a déjà un morphisme $f : T \to X \times_S X$ tel que en composant par les deux projections on obtiennent les morphismes $r$ et $r'$ :
\begin{xy} \xymatrix{ T \ar[r]|-f \ar@/^2pc/[rr]|r \ar@/_2pc/[rr]|{r'} & X \times_S X \ar@/^/[r]|{p_1} \ar@/_/[r]|{p_2} & X } \end{xy} Il s'agit maintenant de voir que ce morphisme $f$ se factorise par l'immersion fermée $\Delta_2^n \xhookrightarrow{} X \times_S X$. L'idéal de définition de cette immersion est $\mathcal{I}^n$, où l'on note $\mathcal{I}$ l'idéal de définition de la diagonale dans $X \times_S X$. Il nous faut donc prouver que $f^*(\mathcal{I}^n) = 0$.
Soit maintenant $\mathscr{J}$ l'idéal de définition de $R$ dans $T$, qui par hypothèse vérifie $\mathscr{J}^n = 0$. Il nous suffit de prouver que $f^*(\mathcal{I}) \subseteq \mathscr{J}$, puisqu'alors on aura $f^*(\mathcal{I}^n) \subseteq \mathscr{J}^n = 0$.
Or la commutativité du diagramme implique que les deux morphismes $r$ et $r'$ coïncident sur $R$. Autrement dit, la restriction de $f$ à $R$ est à valeurs dans la diagonale. Cela signifie exactement que $f^*(\mathcal{I}) \subseteq \mathscr{J}$.

On revient à notre définition d'un faisceau sur le site stratifiant à partir d'un module stratifié. Le lemme donne un morphisme $g : T \to \Delta_2^n$ et des décompositions $r = p_1^n \circ g$ et $r' = p_2^n \circ g$. La donnée d'une stratification, donc en particulier d'une $n$-connexion, permet d'avoir un isomorphisme canonique
$$ (p_1^n)^* M \simeq (p_2^n)^* M $$ En tirant en arrière par $g$ on en déduit un isomorphisme canonique $r^* M \simeq r'^* M$ comme souhaité. En recollant cette construction locale, on parvient effectivement à définir (à isomorphisme près) un faisceau sur le site stratifiant.

I.2. Comparaison De Rham-infinitésimal

La preuve du théorème de comparaison De Rham-infinitésimal consiste en la construction et l'étude de deux foncteurs entre les catégories suivantes :
\begin{xy} \xymatrix{ { \begin{array}{c} \text{Complexes d'opérateurs différentiels} \\ \text{sur } X \text{ relativement à } S \end{array} } \ar@/^2pc/[r]^-L & { \begin{array}{c} \text{Complexes de modules} \\ \text{sur } (X/S)_{\text{strat}} \end{array} } \ar@/^2pc/[l]_-{C^*} } \end{xy}

un foncteur dit de linéarisation $L$ ;
et un foncteur $C^*$, pour « complexe », dans l'autre sens.

Ces deux foncteurs ne sont pas tout à fait réciproques l'un de l'autre, mais on a tout du moins que la composée $C^* \circ L$ est l'identité lorsque vue comme endofoncteur de la catégorie dérivée. C'est un fait crucial de la démonstration du théorème.

Ci-dessous on définit le foncteur de linéarisation, mais à valeurs dans les complexes de modules stratifiés sur $X$ plutôt que sur le site stratifiant. Cependant, on a vu dans la section précédente qu'un module stratifié induit un module sur le site stratifiant, et donc cela permet bien d'obtenir un foncteur de linéarisation à valeurs dans la bonne catégorie.

Foncteur de linéarisation. Le foncteur dit de linéarisation permet d'associer à n'importe quel $\ri_X$-module un (pro-)module muni d'une stratification canonique. Plus généralement, il associe à un complexe d'opérateurs différentiels un complexe de (pro-)modules stratifiés. Sa définition repose sur le fait suivant : le $\ri_X$-module $(p_1^n)_* \ri_{\Delta_2^n}$ admet une $n$-connexion. Et plus généralement, si $M$ est un $\ri_X$-module quelconque, alors $(p_1^n)_* \ri_{\Delta_2^n} \otimes_{\ri_X} M$ admet également une $n$-connexion. La famille
$$ ((p_1^n)_* \ri_{\Delta_2^n} \otimes_{\ri_X} M)_{n \in \N^*} $$ ou, de façon équivalente, la limite inverse (topologique)
$$ \underset{\leftarrow}{\lim} \ ((p_1^n)_* \ri_{\Delta_2^n} \otimes_{\ri_X} M) $$ est par conséquent muni d'une stratification, et ce module est appelé la linéarisation de $M$.

On donne une explication de l'origine du nom « linéarisation » pour ce procédé. Imaginons que l'on se donne deux $\ri_X$-modules $M$ et $N$, et un morphisme $M \overset{u}{\to} N$ entre eux mais qui soit seulement $\ri_S$-linéaire. Il existe une façon naturelle d'associer à un tel morphisme un morphisme $\ri_X$-linéaire entre $\ri_X$-modules, qui consiste simplement à tensoriser :
$$ \ri_X \otimes_{\ri_S} M \overset{\id \otimes u}{\to} \ri_X \otimes_{\ri_S} N $$ en considérant les faisceaux $\ri_X \otimes_{\ri_S} M$ et $\ri_X \otimes_{\ri_S} N$ comme $\ri_X$-modules par multiplication à gauche (et non à droite). Par ailleurs on a l'égalité triviale $M = \ri_X \otimes_{\ri_X} M$, et de même pour $N$, ce qui permet de réécrire ce morphisme comme un morphisme entre les deux faisceaux suivants :
$$ (p_1)_* \ri_{X \times_S X} \otimes_{\ri_X} M \to (p_1)_* \ri_{X \times_S X} \otimes_{\ri_X} N $$ Une fois cela remarqué, il paraît naturel d'interpréter la même construction en remplaçant le produit par le $n$-ème voisinage infinitésimal de la diagonale
$$ (p_1^n)_* \ri_{\Delta_2^n} \otimes_{\ri_X} M \to (p_1^n)_* \ri_{\Delta_2^n} \otimes_{\ri_X} N $$ comme un foncteur de « linéarisation modulo un terme d'ordre $n$ » du morphisme duquel on est parti. Le foncteur que l'on a décrit ci-dessus, qui est la limite inverse de ces foncteurs, peut donc être vu comme un foncteur de « linéarisation » plus fin que celui naïf décrit au-dessus, ce qui explique le nom.

Il est important de noter qu'un faisceau $\Fc = L(M)$ sur le site stratifiant dans l'image du foncteur de linéarisation n'est pas n'importe quel module, mais vérifie la propriété suivante, que l'on appelle (C) pour « cristal » :

(C) Pour tout morphisme $(U \xhookrightarrow{} T) \overset{f}{\to} (U' \xhookrightarrow{} T')$ dans le site stratifiant, on a $ \Fc(U \xhookrightarrow{} T) = f^* \Fc(U' \xhookrightarrow{} T') $

En effet, le faisceau sur le site stratifiant associé à un module stratifié est simplement défini en prenant les tirés en arrière par des rétractions. Or, si $r : T' \to X$ est une rétraction de $T'$, alors $r' \circ f$ est une rétraction de $T$, ce qui donne tout de suite la propriété (C). Quand on remplacera le site stratifiant par le site cristallin, alors les faisceaux de modules vérifiant (C) seront exactement ceux usuellement appelés des cristaux.

Foncteur $C^*$ Le foncteur en sens inverse $C^*$ est défini de la manière suivante : étant donné un module $\Fc$ sur le site stratifiant, $C^*(\Fc)$ est le complexe dont le $m$-ème terme est donné par
$$ \underset{\leftarrow \ n}{\lim} \ \Fc(X \xhookrightarrow{} \Delta_m^n) $$ et les morphismes sont induits par les inclusions.

Cohomologies stratifiante et de Zariski. Ce paragraphe a pour objectif de décrire comment relier la cohomologie stratifiante d'un schéma à la cohomologie de Zariski de celui-ci et de tous ses voisinages infinitésimaux $\Delta_m^n$, où $\Delta_m^n$ désigne le $n$-ème voisinage infinitésimal de $X$ dans le produit répété $m$ fois $X \times_S ... \times_S X$.
La cohomologie stratifiante est définie à partir de l'objet final du topos stratifiant. Celui-ci n'est pas représentable, mais il admet un admet un "revêtement" par l'objet $\tilde{X}$ du topos stratifiant représenté par l'objet $(X \xhookrightarrow{} X)$ du site stratifiant. Pour $\Fc$ un faisceau sur le site stratifiant, on a donc la suite spectrale de Leray :
$$ E^2_{p,q} = H^p(m \mapsto H^q(\tilde{X}^{m+1}, \Fc)) \implies H^{p+q}(X_{\text{strat}}, \Fc) $$ pour tout faisceau $\Fc$ sur le site stratifiant. Le produit $\tilde{X}^m$ est pris dans le topos stratifiant et, à nouveau, celui-ci n'est pas représentable, mais il est limite inductive sur $n$ des faisceaux représentés par les objets $(X \xhookrightarrow{} \Delta_m^n)$ du site stratifiant. À partir de ces considérations on parvient à démontrer le lemme suivant :

Lemme (Alexandre Grothendieck, 1966)

Soit $\Fc$ un faisceau de modules sur le site stratifiant $(X/S)_{\text{strat}}$ vérifiant la propriété (C). Alors on a canoniquement
$$ H^*((X/S)_{\text{strat}}, \Fc) \simeq H^*(X_{\text{Zar}}, C^*(\Fc)) $$

Lemme de Poincaré stratifiant. Avec tout ce qui a été énoncé précédemment, on peut désormais esquisser la preuve du théorème de comparaison De Rham-infinitésimal (ou stratifiant, ce qui est équivalent pour un schéma lisse).
Le complexe de De Rham algébrique $(\Omega_{X/S}^*)$ est un complexe d'opérateurs différentiels. On peut donc lui appliquer le foncteur de linéarisation $L$ qui donne un complexe de modules stratifiés, ou encore un complexe de faisceaux sur le site stratifiant noté $L(\Omega_{X/S}^*)$. Par le lemme précédent, on a l'égalité
$$ H^*((X/S)_{\text{strat}}, L(\Omega_{X/S}^*)) = H^*(X_{\text{Zar}}, C^*(L(\Omega_{X/S}^*)))$$
Par ailleurs, comme on l'a annoncé dans le paragraphe introductif de cette section, la composée $C^* \circ L$ donne un complexe quasi-isomorphe au complexe de départ. On a donc également l'égalité
$$ H^*(X_{\text{Zar}}, C^*(L(\Omega_{X/S}^*))) = H^*(X_{\text{Zar}}, \Omega_{X/S}^*) $$
On a un morphisme canonique
$$ \ri_{\text{strat}} \to L(\Omega_{X/S}^*) $$ En effet, la donnée d'un tel morphisme de complexes se résume à la donnée d'un morphisme de faisceaux $\ri_{\text{strat}} \to L(\ri_X) = L(\Omega_{X/S}^0) $ dont la composée avec le morphisme $ L(\Omega_{X/S}^0) \to L(\Omega_{X/S}^1) $ s'annule. Or on a toujours un morphisme d'un faisceau vers sa linéarisation, et on peut vérifier explicitement dans le cas lisse que la composée est nulle. La preuve du théorème de comparaison se réduit donc à prouver que ce morphisme induit un isomorphisme sur les groupes de cohomologie stratifiés. C'est l'objet du lemme suivant :

Lemme - de Poincaré stratifiant (Alexandre Grothendieck, 1966)

Si $X$ est un schéma lisse sur $S$, et si $S$ est de caractéristique zéro, alors le morphisme $\ri_{\text{strat}} \to L(\Omega_{X/S}^*)$ est un quasi-isomorphisme.

On ne va pas donner les détails de la démonstration de ce dernier lemme, mais on va en revanche expliciter à quel moment l'hypothèse que $S$ est de caractéristique zéro est cruciale. Pour montrer que le morphisme considéré est un isomorphisme, il suffit de travailler sur un ouvert stratifiant $U \xhookrightarrow{} T$ assez petit, en particulier que l'on peut supposer admettant une rétraction vers $X$. La valeur de $L(\Omega_{X/S}^*)$ sur $T$ est alors tiré en arrière de celle sur $X$. $X$ étant lisse sur $S$, le faisceau des différentielles $\Omega_{X/S}^1$ est Zariski-localement libre et, quitte à se restreindre à un ouvert stratifiant plus petit, on peut supposer que la rétraction se factorise par un ouvert de Zariski sur lequel ce faisceau des différentielles est libre de rang $n$. Un argument par récurrence permet ensuite de se ramener au cas $n = 1$. Une fois toutes ces restrictions faites, le résultat à démontrer apparaît très concret : il s'agit de vérifier que le complexe
$$ 0 \to \ri_T \to \ri_T[X] \overset{d}{\to} \ri_T[X]dX \to 0 $$ définit une résolution de $\ri_T$, où $d$ est la dérivation usuelle pour les polynômes. Autrement dit, on veut que les seuls polynômes de dérivée nulle soient les polynômes constants. Cela est bien sûr vrai en caractéristique zéro, mais échoue en caractéristique $p > 0$ puisque les monômes $X^{p^n}$, pour tout $n \in \N^*$, et toute combinaison linéaire de ces monômes, ont également dérivée nulle.

Ce lemme termine l'esquisse de démonstration du théorème de comparaison entre cohomologie infinitésimale et de De Rham. Mais il ouvre également la porte vers la cohomologie cristalline, puisque celle-ci va être définie en modifiant la cohomologie infinitésimale de telle sorte à rendre valide ce lemme. On voit qu'il faudrait à priori ajouter les antécédents successifs de $X$ par la dérivation, c'est-à-dire les $\frac{X^n}{n!}$ pour $n \in \N^*$. Une telle fraction n'a pas de sens en général en caractéristique $p > 0$, mais on va voir qu'il est tout de même possible d'ajouter des éléments qui satisfont les mêmes propriétés que ces fractions. C'est ce qui va permettre de contourner le problème et d'obtenir la cohomologie cristalline.

I.3. Le champ de De Rham

Cette section est consacrée à l'étude du champ suivant :

Définition - champ de De Rham

Soit $X$ un schéma au-dessus de $S$. On appelle champ de De Rham de $X$ au-dessus de $S$, noté $X_{/S}^{\text{dR}}$, le champ induit par le foncteur
$$ \left \{ \begin{array}{rcl} S \text{-schémas} & \to & \text{Ensembles} \\ Y & \mapsto & X(Y_{\text{red}}) \end{array} \right . $$ où l'on dénote par $Y_{\text{red}}$ la réduction du schéma $S$.

Ainsi ce champ $X_{/S}^{\text{dR}}$ est défini comme la catégorie fibrée formée des couples $(Y, t)$ où $Y$ est un $S$-schéma et $t$ un $Y_{\text{red}}$-point de $X$ au-dessus de $S$ ; les morphismes $(Y, t) \to (Y', t')$ sont les $S$-morphismes de schémas $Y \to Y'$ tels que le morphisme induit $Y_{\text{red}} \to Y'_{\text{red}}$ commute avec les points $t$, $t'$ ; et cette catégorie est munie du foncteur naturel $X_{/S}^{\text{dR}} \to S \text{-schémas}$ qui consiste à oublier le point choisi.

L'objectif de cette section est de démontrer le résultat suivant :

Proposition

Soit $X$ un schéma au-dessus de $S$. La catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur le champ de De Rham $X_{/S}^{\text{dR}}$ est équivalente à la sous-catégorie pleine de la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur le site infinitésimal $\text{Inf}(X/S)$ consistant en les faisceaux $\Fc$ satisfaisant la condition suivante : pour tout morphisme $f : (U \xhookrightarrow{} T) \to (U' \xhookrightarrow{} T')$ dans ce site, le morphisme induit $f^* \Fc(U' \xhookrightarrow{} T') \to \Fc(U \xhookrightarrow{} T)$ est un isomorphisme.

Il convient d'abord de rappeler ce que l'on entend par faisceau quasi-cohérent sur le champ $X_{/S}^{\text{dR}}$. Il s'agit, pour tout objet $(Y, t)$ de la catégorie, d'un faisceau quasi-cohérent $\Fc_{(Y, t)}$ sur le schéma $Y$ ; et pour tout morphisme $f : (Y, t) \to (Y', t')$, d'un isomorphisme $ \rho_f : f^* \Fc_{(Y', t')} \to \Fc_{(Y, t)} $, avec la condition que si l'on a un deuxième morphisme $g: (Y', t') \to (Y'', t'')$, alors on a la relation :
$$ \rho_{g \circ f} = \rho_f \circ f^* \rho_g $$
On notera aussi que, si l'on remplace le site infinitésimal par le site cristallin - qui sera défini plus tard, alors la notion qui apparaît est exactement celle de cristaux.

On peut maintenant donner la preuve de la proposition :

▼ Preuve

On a un foncteur naturel dans un sens : donnons-nous en effet $\Fc$ un faisceau quasi-cohérent sur le champ $X_{/S}^\text{dR}$, et soit $U \xhookrightarrow{} T$ un élément du site infinitésimal. Alors on a un morphisme naturel $t : T_{\text{red}} = U \to X$ qui est simplement l'inclusion, et qui définit donc un élément $(T, U \xhookrightarrow{} X)$ du champ $X_{/S}^\text{dR}$. Alors l'application $\mathscr{G} : (U \xhookrightarrow{} T) \mapsto \Fc_{(T, U \xhookrightarrow{} X)}$ est un faisceau sur le site infinitésimal de $X$ sur $S$, et cette association définit bien un foncteur.

On va construire un foncteur réciproque dans l'autre sens, dont la définition est plus délicate. Partons donc de $\mathscr{G}$ un faisceau sur le site infinitésimal, et soit $(Y, t) \in X_{/S}^\text{dR}$. On a donc un diagramme de la forme
\begin{xy} \xymatrix{ Y_{\text{red}} \ar[r]^t \ar@{^{(}->}[d] & X \\ Y } \end{xy} où la flèche verticale est un immersion nilpotente. On voudrait prendre le pushout de ce diagramme, et définir $\Fc_{(Y,t)}$ comme le pullback par la flèche horizontale induite, mais l'existence d'un pushout n'est pas assurée. Cependant, elle l'est localement, comme l'affirme le lemme suivant :

Lemme - (Stacks Project Lemma 37.14.3)

Soient $X$, $Y$, $Z$ trois schémas, $f : Z \to X$ un morphisme affine et $i : Z \to Y$ une immersion nilpotente. Alors il existe un pushout :
\begin{xy} \xymatrix{ Z \ar[r]|f \ar@{^{(}->}[d]|i & X \ar@{^{(}.>}[d]|{i'} \\ Y \ar@{.>}[r]|{f'} & Y \sqcup_Z X } \end{xy} De plus, le morphisme induit $i' : X \to Y \sqcup_Z X$ est aussi une immersion nilpotente.

Si l'on se donne $y$ un point de $Y$ (ou de façon équivalente de $Y_{\text{red}}$, qui a même espace topologique), $x = t(y)$, $V$ un ouvert affine de $X$ contenant $x$, $U$ un ouvert affine de $Y$ contenant $y$ et contenu dans $t^{-1}(V)$, alors on a un diagramme de la forme
\begin{xy} \xymatrix { && V \ar@{^{(}->}[d] \\ U_{\text{red}} \ar@{^{(}->}[d] \ar@{^{(}->}[r] \ar@/^/[rru]^{t|_{U_{\text{red}}}} & Y_{\text{red}} \ar@{^{(}->}[d] \ar[r]^t & X \\ U \ar@{^{(}->}[r] & Y } \end{xy} et le morphisme $t|_U : U_{\text{red}} \to V$ étant affine, on peut former le pushout
\begin{xy} \xymatrix{ U_{\text{red}} \ar[r]^{t|_{U_\text{red}}} \ar@{^{(}->}[d] & V \ar@{^{(}.>}[d] \\ U \ar@{.>}[r]^{t'} & U \sqcup_{U_{\text{red}}} V } \end{xy} et, toujours par le lemme, le morphisme $V \to U \sqcup_{U_{\text{red}}} V$ est une immersion nilpotente, donc un élément du site infinitésimal de $X$.
À défaut de pouvoir définir directement $\Fc_{(Y,t)}$, on peut au moins définir sa restriction à $U$ comme étant $t'^* \mathscr{G}(V \xhookrightarrow{} U \sqcup_{U_{\text{red}}} V)$. Cette construction locale se recolle et donne naissance à un faisceau $\Fc_{(Y,t)}$ sur $Y$.

II. La cohomologie cristalline

Si la cohomologie infinitésimale donne une théorie complètement satisfaisante pour les schémas de caractéristique zéro, étendant la cohomologie de De Rham aux schémas singuliers, elle ne parvient pas à donner naissance à une théorie $p$-adique permettant d'attaquer les conjectures de Weil pour les variétés sur les corps finis. Le résultat principal que l'on souhaite est que si $k$ est un corps fini de caractéristique $p$, $X$ un schéma propre et lisse sur $k$ qui admet un relèvement $\tilde{X}$ également propre et lisse sur $W(k)$, l'anneau des vecteurs de Witt de $k$, alors on a un isomorphisme canonique
$$ H^*((X/W(k))_{\text{inf}}, \ri) \simeq H_{DR}^*(\tilde{X}/W(k)) $$
Notons $W_n(k)$ pour $n \in \N^*$ les anneaux de vecteurs de Witt tronqués de $k$, et $X_n$ la réduction de $\tilde{X}$ à $W_n(k)$. Sous ces hypothèses on sait que l'on a
$$ \begin{align*} H_{DR}^*(\tilde{X}/W(k)) &= \underset{\leftarrow}{\lim} \ H_{DR}^*(X_n/W_n(k)) \\ H^*((X/W(k))_{\text{inf}}, \ri) &= \underset{\leftarrow}{\lim} \ H^*((X/W_n(k))_{\text{inf}}, \ri) &= \underset{\leftarrow}{\lim} \ H^*((X_n/W_n(k))_{\text{inf}}, \ri) \end{align*} $$ et donc le résultat souhaité se réduit à une comparaison entre cohomologies de De Rham et infinitésimale
$$ H^*((X_n/W_n(k))_{\text{inf}}, \ri) \overset{?}{\simeq} H_{DR}^*(X_n/W_n(k)) $$ Mais le théorème de comparaison n'étant valable qu'en caractéristique zéro, et $W_n(k)$ étant de caractéristique $p$, il n'existe pas de tel isomorphisme en général. Par ailleurs on peut identifier très précisément l'argument de la preuve qui ne fonctionne plus en caractéristique $p$ : il s'agit du lemme de Poincaré stratifiant, qui nécessite, pour avoir des antécédents par la dérivation, de pouvoir diviser par n'importe quel entier.

Dans sa lettre à Tate de mai 1966, Grothendieck introduit le site infinitésimal (appelé alors cristallogène) et remarque que celui-ci ne donne toujours pas la bonne théorie en caractéristique $p$, comme nous venons de le souligner. Dans une série de conférences à Princeton en novembre de la même année, il esquisse la définition d'un nouveau site qui permet de faire fonctionner les arguments précédents, et donc, au minimum, de donner une théorie satisfaite pour les variétés qui sont réduction d'un schéma propre et lisse sur $W(k)$ : c'est le site cristallin. L'approche de Grothendieck est très pragmatique : il s'agit de ne plus prendre tous les voisinages infinitésimaux mais seulement ceux qui, essentiellement, permettent d'avoir la validité du lemme de Poincaré en se passant d'inverser les entiers. Mais il semble aussi qu'une coïncidence temporelle a jouée, puisque la notion technique clé qui permet de définir correctement celle nouvelle théorie, celle de puissances divisées, a été définie juste l'année précédente, en 1965, par un mathématicien parisien aujourd'hui peu connu, Norbert Roby. Sans que l'on sache comment Grothendieck a eu connaissance de ses articles, Grothendieck y a en tout cas trouvé l'ingrédient qui lui manquait pour obtenir la cohomologie cristalline.

II.1. Le site cristallin

On donne tout de suite la définition d'une structure de puissances divisées. Intuitivement, cela doit être vu comme une série d'applications imitant les propriétés des applications $x \mapsto \frac{x^n}{n!}$, qui ne sont bien définies qu'en caractéristique zéro.

Définition - structure de puissances divisées (Norbert Roby, 1965)

Soit $A$ un anneau (commutatif) et $I$ un idéal de $A$. Une structure de puissances divisées sur $I$ est une collection d'applications $\gamma_n : I \to I $ pour tout $n \in \N^*$, vérifiant les propriétés suivantes (où l'on pose $\gamma_0(x) = 1$, pour $x \in I$) pour tous $n, m \in \N^*$, $x, y \in I$, $\lambda \in A$ :

$\gamma_1$ est l'identité de $I$ ;
$\gamma_n(\lambda x) = \lambda^n \gamma_n(x)$ ;
$ \gamma_n(x+y) = \Sum{k=0}{n} \gamma_k(x) \gamma_{n-k}(y) $ ;
$\gamma_n(x) \gamma_m(x) = \binom{n+m}{n} \gamma_{n+m}(x)$
$\gamma_n(\gamma_m(x)) = \left ( \Prod{k=1}{n} \binom{mk-1}{m-1} \right ) \gamma_{nm}(x)$.

Plus généralement, si $X$ est un schéma, et $\mathscr{I}$ est un idéal quasi-cohérent de $\ri_X$, alors une structure de puissances divisées sur $\mathscr{I}$ est une structure de puissances divisées $(\gamma_n(U))_n$ sur $\mathscr{I}(U)$, pour tout ouvert $U$ de $X$, qui soient compatibles avec les morphismes de restriction. Un schéma muni d'un tel idéal quasi-cohérent $\mathscr{I}$ et d'une structure de puissances divisées sur celui-ci est appelé un schéma à puissances divisées.

On montre aisément par récurrence, en utilisant seulement les propriétés (1) et (4), que l'on a $x^n = n! \gamma_n(x)$ pour tous $n \in \N$, $x \in I$. On en déduit que si $A$ est une $\Q$-algèbre, alors tous ses idéaux admettent une et une seule structure de puissances divisées donnée par $\gamma_n(x) = \frac{x^n}{n!}$, pour $n \in \N$, $x$ dans l'idéal.

Il n'est à priori pas évident qu'en dehors de la caractéristique zéro, une telle structure puisse exister. Il se trouve que l'on peut en fait toujours ajouter des éléments à notre anneau et à notre idéal de façon à avoir une structure de puissances divisées, et même - en un sens - de façon universelle, comme affirmé par le résultat suivant :

Proposition (Norbert Roby)

Soit $(S, \mathscr{I}, \gamma)$ un schéma à puissances divisées, $X$ un schéma au-dessus de $S$ et $\mathscr{J}$ un idéal quasi-cohérent de $X$. Alors il existe un unique $X$-schéma à puissances divisées $(\tilde{X}, \tilde{\mathscr{J}}, \delta)$ tel que le tiré en arrière de $\mathscr{J}$ soit inclus dans $\tilde{\mathscr{J}}$, et tel que $\delta$ soit compatible avec $\gamma$, et qui soit universel pour ces propriétés, c'est-à-dire que si $(Y, \mathscr{K}, \epsilon)$ est un autre $X$-schéma à puissances divisées tel que le tiré en arrière de $\mathscr{J}$ soit inclus dans $\mathscr{K}$, et tel que $\epsilon$ soit compatible avec $\gamma$, alors il existe un unique morphisme de schémas à puissances divisées faisant commuter le diagramme suivant :
\begin{xy} \xymatrix{ & (\tilde{X}, \tilde{\mathscr{J}}, \delta) \ar@{.>}[rd] \\ X \ar[rr] \ar[ru] && (Y, \mathscr{K}, \epsilon) } \end{xy}

L'idée derrière la cohomologie cristalline est d'imiter la définition de la cohomologie infinitésimale, mais en imposant partout l'existence d'une structure à puissances divisées. De façon remarquable, tous les arguments donnés dans la première partie pour relier la cohomologie infinitésimale à la cohomologie de De Rham peuvent être adaptés relativement aisément à ce contexte.

Définition - site cristallin (Alexandre Grothendieck, 1966)

Soit $(S, \mathscr{I}, \gamma)$ un schéma à puissances divisées, et $X$ un schéma sur $S$. On appelle site cristallin de $X$ au-dessus de $(S, \mathscr{I}, \gamma)$, noté $\text{Cris}(X/S, \mathscr{I}, \gamma)$ ou parfois simplement $\text{Cris}(X/S)$, la catégorie dont :

les objets sont les $S$-immersions fermées $ U \subseteq T$, où $U$ est un ouvert de $X$, et où l'idéal définissant cette immersion est nilpotent et est muni d'une structure de puissances divisées compatible avec $\gamma$ ;
les morphismes entre $U \subseteq T$ et $U' \subseteq T'$ sont ceux de $T$ dans $T'$ induisant une immersion ouverte de $U$ dans $U'$, et compatibles aux structures de puissances divisées ;

et qui est muni d'une structure de site en posant :

les recouvrements d'un objet $U \subseteq T$ sont les familles $(U_i \subseteq T_i)$ où $(T_i)$ est un recouvrement ouvert de Zariski de $T$.

On note tout de même que la définition donnée ci-dessus apparaît en réalité dans la thèse de Berthelot, et diffère légèrement de celle esquissée par Grothendieck en 1966 (par des conditions de compatibilités entre structures de puissances divisées).

On déduit de l'existence et de l'unicité d'une structure de puissances divisées sur tout idéal dans une $\Q$-algèbre que, si $S$ est un schéma de caractéristique zéro, les sites infinitésimal et cristallin coïncident.

Enfin, si l'on admet que les arguments de la partie précédente se généralisent au cas cristallin, et sachant que celui-ci a été construit de façon à avoir les antécédents successifs de $X$ par la dérivation et ainsi pouvoir démontrer le lemme de Poincaré dans ce contexte, on obtient la généralisation suivante du théorème de comparaison :

Théorème - de comparaison De Rham-cristallin (Pierre Berthelot, 1972)

Soit $(S, \mathscr{I}, \gamma)$ un schéma à puissances divisées, et $X$ un schéma lisse sur $S$. Alors on a un isomorphisme canonique
$$ H^*((X/S)_{\text{cris}}, \ri) \simeq H^*_{DR}(X/S) $$

On en déduit ensuite, suivant les arguments esquissés en introduction de cette partie, le résultat suivant, qui implique que la cohomologie cristalline se comporte comme souhaité tout du moins pour les schémas propres, lisses et relevables en caractéristique zéro.

Théorème (Pierre Berthelot, 1972)

Soit $k$ un corps fini, $X$ un schéma propre et lisse sur $k$ et $\tilde{X}$ un schéma propre et lisse sur $W(k)$ relevant $X$. Alors on a un isomorphisme canonique
$$ H^*((X/W(k))_{\text{cris}}, \ri) \simeq H^*_{DR}(\tilde{X}/W(k)) $$

Ici, $W(k)$ est muni de la structure à puissances divisées canonique définie par $\gamma_n(x) = \frac{x^n}{n!}$. C'est à priori seulement un élément du corps des fractions de $W(k)$ mais on peut vérifier que sa valuation $p$-adique est toujours positive.

II.2. Le complexe de De Rham-Witt

Le complexe de De Rham-Witt répond à la question suivante : peut-on, comme dans le cas lisse, interpréter la cohomologie cristalline d'un schéma sur un corps fini relativement à l'anneau des vectuers de Witt comme l'hypercohomologie d'un certain complexe ?
Pour $X$ un schéma sur un corps fini $k$, on a un moyen naturel de construire des épaississements à puissances divisées de $X$ : il s'agit des schémas de vecteurs de Witt tronqués $W_n(X)$. Il paraît alors plausible que le complexe recherché soit lié aux complexes de De Rham de ces épaississements, par exemple égal à leur limite inverse
$$ \hat{\Omega}_{W(X)/W(k)}^* = \underset{\leftarrow}{\lim} \ \Omega_{W_n(X)/W_n(k)}^* $$ que l'on appellera complexe de De Rham complété de $W(X)$ sur $W(k)$ (ou complexe de De Rham du schéma formel $W(X)$ sur $\text{Spf}(W(k))$). La réponse correcte est plus subtile ; elle s'explique par la nécessité suivante : on veut que notre complexe soit muni d'un endomorphisme qui sur la cohomologie s'identifie avec le Frobenius de la cohomologie cristalline, et ce n'est pas le cas de ce complexe de De Rham complété.
Si l'on ajoute cette condition d'avoir un endomorphisme de Frobenius, alors on trouve essentiellement le bon complexe de De Rham-Witt. Cela est particulièrement criant dans le cas suivant ; la définition générale, que l'on donnera après, est bien sûr plus subtile.

Proposition (Luc Illusie, 1979)

Soit $k$ un corps fini, $X$ un schéma lisse sur $k$. On fait les deux hypothèses suivantes sur le schéma formel $W(X)$ :

$W(X)$ est lisse comme schéma formel sur $\text{Spf}(W(k))$ ;
$W(X)$ est muni d'un endomorphisme étendant le Frobenius de $X$.

Alors le complexe de De Rham-Witt de $X$ est quasi-isomorphe au complexe de De Rham complété de $W(X)$ sur $W(k)$.

Comme on le voit dans ce cas particulier, et comme on va le voir dans le cas général, un point particulièrement frappant du complexe de De Rham-Witt est qu'il permet - dans le cas lisse - une description de la cohomologie cristalline qui ne fait aucune mention de la structure de puissances divisées. Cela rend la cohomologie cristalline plus naturelle qu'elle l'est à première vue à travers le site cristallin.

Le complexe de De Rham-Witt a été défini pour la première fois par Spencer Bloch (Algebraic K-theory and crystalline cohomology, 1977) en petites dimensions, avant d'être défini en général par Pierre Deligne dans des manuscrits non publiés, et étudié à partir de là par Luc Illusie (Complexe de De Rham-Witt et cohomologie cristalline, 1979). Nous allons maintenant donner la définition générale de Deligne et Illusie de ce complexe.

Si $X$ est un schéma au-dessus de $S$, alors le complexe de De Rham $\Omega_{X/S}^*$ satisfait la propriété universelle suivante : étant donné une algèbre différentielle graduée $C^*$ munie d'un morphisme $\ri_X \to C^0$, il existe une unique extension de ce morphisme en un morphisme d'algèbres différentielles graduées $\Omega_{X/S}^* \to C^*$.
En première approximation, le complexe de De Rham-Witt est défini par la même propriété universelle en considérant les algèbres différentielles graduées munies d'un morphisme depuis $W(\ri_X)$ au lieu de $\ri_X$. Mais pour obtenir la définition correcte, il faut prendre en compte deux aspects du faisceau $W(\ri_X)$ que l'on veut retrouver dans le complexe final : la topologie, et les deux endomorphismes naturels : le Frobenius et le Verschiebung. La dernière subtilité est que dans la définition originale, on impose à priori seulement l'existence du Verschiebung, et on démontre à posteriori que l'on a aussi un endomorphisme de Frobenius.

Définition - Complexe de De Rham-Witt (Pierre Deligne, 1975)

Soit $k$ un corps fini, et $X$ un schéma sur $k$. On appelle complexe de De Rham-Witt de $X$ une algèbre différentielle graduée notée $W\Omega_X^*$ telle que $W\Omega_X^0 = W(\ri_X)$, munie d'une topologie profinie redonnant celle classique sur $W(\ri_X)$ et rendant les différentielles continues, et d'un endomorphisme $V$ redonnant le Verschiebung sur $W(\ri_X)$, commutant avec les restrictions et satisfaisant les deux propriétés suivantes (où $\omega$ est le morphisme de Teichmüller) :
$$ \forall i,j \in \N, \ \ \ \forall x, y \in W\Omega_X^i, \ \ \ \forall y \in W\Omega_X^j, \ \ \ V(x d(y)) = V(x) d(V(y)) $$ $$ \forall x \in \ri_X, \ \ \ \forall y \in W(\ri_X), \ \ \ V(y) d(\omega(x)) = V(\omega(x)^{p-1} y) d(V(\omega(x))) $$ et qui soit universel pour ces propriétés, c'est-à-dire que si $C^*$ est une algèbre différentielle graduée muni d'un morphisme depuis $W(\ri_X)$, avec une topologie profinie compatible, un endomorphisme $V'$ compatible et satisfaisant les mêmes propriétés, avec ce morphisme s'étend en un morphisme continu d'algèbres différentielles graduées $W\Omega_X^* \to C^*$ compatible avec les endomorphismes $V$ et $V'$.

Théorème (Pierre Deligne, 1975)

Soit $k$ un corps fini, et $X$ un schéma sur $k$. Alors le complexe de De Rham-Witt $W\Omega_X^*$ existe et est muni d'un endomorphisme $F$ dit de Frobenius qui satisfait un certain nombre de relations avec $V$ et la dérivation.

Le résultat principal sur le complexe de De Rham-Witt est le suivant :

Théorème - de comparaison De Rham-Witt-cristallin (Luc Illusie, 1979)

Soit $k$ un corps fini, et $X$ un schéma lisse sur $k$. Alors on a un isomorphisme canonique
$$ H^*((X/W(k))_{\text{cris}}, \ri) \simeq H^*(X_{\text{Zar}}, W\Omega_X^*) $$ compatible avec les endomorphismes de Frobenius de chaque côté.

Il est à noter que des travaux récents de Bhargav Bhatt, Jacob Lurie et Akhil Mathew ont fait apparaître une définition alternative du complexe de De Rham-Witt, où l'existence de l'endomorphisme de Frobenius est cette fois-ci prise comme axiome dans la définition. On la donne ci-dessous :

Définition - Complexe de De Rham-Witt saturé (2018)

Soit $k$ un corps fini de caractéristique $p$, et $X$ un schéma sur $k$. On appelle complexe de De Rham-Witt saturé une algèbre différentielle graduée notée $\mathcal{W} \Omega_X^*$ sans $p$-torsion, munie d'un endomorphisme d'algèbre graduée $F$, qui redonne le Frobenius modulo $p$ sur le terme de degré zéro et qui satisfait les propriétés suivantes :

$d \circ F = p F \circ d $ ;
$F$ est injectif ; son image est constituée des éléments $x$ tels que $d(x)$ est divisible par $p$ ;
par la propriété précédente, on peut définir une application $V : x \mapsto F^{-1}(px)$ ; on requière la propriété suivante de complétude relativement à $V$ : la limite inverse sur $r \in \N$ des quotients $ \mathcal{W} \Omega_X^* / ( \im(V^{\circ r}) + \im(d \circ V^{\circ r}) ) $ redonne le complexe $\mathcal{W} \Omega_X^*$.

et qui soit universel pour ces propriétés, c'est-à-dire que si $C^*$ est une algèbre différentielle graduée sans $p$-torsion munie d'un endomorphisme $F'$ satisfaisant les mêmes propriétés, et munie d'un morphisme $\ri_X \to H^0(C^* / p C^*)$, alors ce morphisme s'étend en un morphisme d'algèbres différentielles graduées $\mathcal{W} \Omega_X^* \to C^*$ compatible avec $F$ et $F'$.

On peut de même prouver l'existence d'un complexe vérifiant cette propriété universelle, et également qu'il coïncide (à quasi-isomorphisme près) avec le complexe de De Rham-Witt usuel sous l'hypothèse que $X$ est lisse sur $k$. En particulier, sous cette hypothèse, le complexe de De Rham-Witt saturé calcule également la cohomologie cristalline. En revanche, sans l'hypothèse de lisseté, les deux complexes diffèrent en général.

II.3. Vers la cohomologie prismatique

Cette dernière section vise à énoncer quelques résultats récents en lien avec la cohomologie cristalline, apparus dans la dernière décennie après l'émergence de nouvelles notions comme les espaces perfectoïdes (2012) et la cohomologie prismatique (2019).

La cohomologie prismatique généralise la cohomologie cristalline à certains schémas formels $p$-adiques, mais reste au fond basée sur la même idée de regarder des épaississements du schéma étudié. Mais au lieu de considérer des épaississements infinitésimaux (définis par un idéal nilpotent), le site prismatique considère plutôt des épaississements topologiques (définis par un idéal topologiquement nilpotent) - comme Grothendieck le conseillait déjà dans Récoltes et semailles. L'autre différence majeure, et probablement la plus importante, est que le site prismatique ne fait aucunement référence à la notion de structure de puissances divisées. À la place une certaine notion de relèvement du Frobenius est introduite, qui paraît bien plus naturelle à considérer.

Nous n'allons pas dans cette section définir le site prismatique dans toute sa généralité, mais simplement sa spécialisation au cas d'un schéma sur un corps fini, qui permet de retrouver la cohomologie cristalline.
La notion-clé est celle de $\delta$-anneau : dans l'idée, un $\delta$-anneau est un couple $(A, \delta)$ où $A$ est un anneau et $\delta : A \to A$ une application satisfaisant certaines égalités de telle sorte que $x \mapsto x^p + p \delta(x)$ est un endomorphisme de l'anneau $A$ (et donc automatiquement un relèvement du Frobenius). Si $A$ est sans $p$-torsion, la condition que cette application soit un morphisme d'anneau va effectivement imposer des relations sur $\delta$, et c'est ces relations qui définissent la notion de $\delta$-anneau en général :

Définition - $\delta$-anneau (André Joyal)

Un $\delta$-anneau est un couple $(A, \delta)$ où $A$ est un anneau et $\delta : A \to A$ une application satisfaisant les propriétés suivantes :

$\delta(0) = \delta(1) = 0$ ;
$\forall x, y \in A, \ \ \ \delta(x+y) = \delta(x) + \delta(y) - \Sum{k=1}{p-1} \frac{1}{p} \binom{p}{k} x^k y^{n-k}$ ;
$\forall x, y \in A, \ \ \ \delta(xy) = x^p \delta(y) + y^p \delta(x) + p \delta(x) \delta(y)$.

On peut grâce à cette notion définir le site prismatique :

Définition - Site prismatique (2019)

Soit $k$ un corps fini et $X$ un schéma sur $k$. On appelle site prismatique de $X$ au-dessus de $W(k)$, noté $\mathbf{\Delta}(X/W(k))$, la catégorie dont :

les objets sont les triples $(A, \delta, u)$ où $(A, \delta)$ est un $\delta$-anneau, $A$ étant une $W(k)$-algèbre $p$-complète et sans $p$-torsion, et $u : \Spec(A/pA) \to X$ est un morphisme de schémas ;
les morphismes sont les morphismes de $\delta$-anneaux au-dessus de $W(k)$ commutant avec le morphisme de schémas $u$ ;

et qui est munie d'une structure de site en posant :

un morphisme $(A, \delta, u) \to (B, \delta', u')$ est un recouvrement si $B/pB$ est fidèlement plat au-dessus de $A/pA$.

Comme on l'a annoncé, la cohomologie prismatique se compare à la cohomologie cristalline, tout du moins dans le cas lisse, et donne donc une nouvelle définition de la cohomologie cristalline indépendante de la notion de puissances divisées (après le complexe de De Rham-Witt).

Théorème - de comparaison cristallin-prismatique (2019)

Soit $k$ un corps fini et $X$ un schéma lisse sur $k$. Alors on a un isomorphisme canonique
$$ H^*((X/W(k))_{\text{cris}}, \ri) \simeq F^* H^*((X/W(k))_{\mathbf{\Delta}}, \ri) $$ où $F$ est le Frobenius de $W(k)$.

On remarque qu'ici le Frobenius $F$ de $W(k)$ induit un isomorphisme sur la cohomologie prismatique, et donc on a toujours un isomorphisme entre cohomologies cristalline et prismatique même en retirant le tiré en arrière par $F$, mais celui-ci n'est plus canonique.

Le lien entre le site prismatique et celui cristallin, et donc avec la notion de structure à puissances divisées, est essentiellement donné par le lemme élémentaire suivant. Celui-ci ne constitue pas une preuve du théorème mais donne au moins une idée de pourquoi la notion de $\delta$-anneau permet de remplacer celle de structure à puissances divisées, lorsque l'on travaille sans $p$-torsion.

Lemme (2019)

Soit $(A, \delta)$ un $\delta$-anneau, $A$ étant une $\Z_p$-algèbre sans $p$-torsion. On note $\varphi$ le relèvement du Frobenius induit par la $\delta$-structure. Alors l'idéal $\varphi^{-1}(p A)$ admet une structure de puissances divisées.

▼ Preuve

$A$ étant une $\Z_p$-algèbre sans $p$-torsion, elle admet un corps des fractions $K$ et celui-ci a automatiquement une unique structure de puissances divisées, donnée par $\gamma_n : x \mapsto \frac{x^n}{n!}$. On va vouloir montrer que l'idéal $I = \varphi^{-1}(pA)$ de $A$ est stable par ces applications.

Le point-clé est le suivant : si $r \in \N^*$ est un entier quelconque, alors dans la formule
$$ \forall x \in K, \ \ \ \gamma_r(\gamma_p(x)) = \left ( \Prod{k=1}{r} \binom{pk-1}{p-1} \right ) \gamma_{rp}(x) $$ que vérifie la structure de puissances divisées, les coefficients binomiaux qui apparaissent sont tous des unités $p$-adiques. En effet, pour tout $k \in \N^*$
$$ \binom{pk-1}{p-1} = \frac{(pk-1)!}{(p-1)! (p(k-1))!} $$ Le facteur $(p-1)!$ est une unité $p$-adique, tandis que puisqu'il n'y a aucun multiple de $p$ compris strictement entre $p(k-1)$ et $pk$, les deux autres facteurs ont la même valuation $p$-adique, qui s'annulent donc l'une avec l'autre.

À partir de cela, on démontre par récurrence forte sur $n \in \N^*$ que $I$ est stable par les applications $\gamma_n$ :

si $n < p$, alors dans la formule pour $\gamma_n$ le dénominateur est une unité, et donc cette application correspond juste à prendre une puissance ;
si $n = p$, pour $x \in I$, $\gamma_p(x)$ est un élément de $A$ puisque égal à $\frac{x^p}{p} = \frac{\varphi(x)}{p} - \delta(x)$ à une unité près, et que $\varphi(x)$ est divisible par $p$ par définition de $I$. Il s'agit même d'un élément de $I$ puisque, $\varphi$ étant un morphisme d'anneaux, $\varphi(\gamma_p(x)) = \frac{\varphi(x)^p}{p!}$ est divisible par $p^{p-1}$, donc par $p$ ;
si $n > p$ et $n$ est un multiple de $p$, alors par le point-clé, pour $x \in I$, $\gamma_n(x)$ est égal à $\gamma_{n/p} \circ \gamma_p(x)$ à une unité près. Par le point précédent $\gamma_p(x)$ est un élément de $I$ donc on peut appliquer l'hypothèse de récurrence au rang $n/p$ ;
si $n > p$ et $n$ n'est pas un multiple de $p$, et que l'on note $n'$ le plus grand multiple de $p$ inférieur à n, alors pour $x \in I$ on a que $\gamma_n(x)$ est égal à $x^{n-n'} \gamma_{n'}(x)$ à une unité $p$-adique près, et on est ramenés au cas précédent.

On termine en mentionnant rapidement un autre développement récent autour des cohomologies cristalline et prismatique : la découverte d'un champ algébrique, dit prismatisation ou champ de Cartier-Witt qui permet, comme on l'a vu avec la cohomologie infinitésimale et le champ de De Rham dans la première partie, d'apporter un nouveau point de vue sur les cristaux comme des faisceaux quasi-cohérents sur ce champ.
La définition et l'étude générale du champ de Cartier-Witt est due à Bhargav Bhatt et Jacob Lurie (Absolute prismatic cohomology, 2022), mais on va plutôt mentionner ici la description explicite de ce champ donnée par Drinfeld, dès 2018, dans le cas particulier d'un schéma lisse sur un corps fini. Sa description utilise la notion de perfection, très étudiée dans les années 2010, mais encore inconnue à l'époque de l'apparition de la cohomologie cristalline.

Théorème (Vladimir Drinfeld, 2018)

Soit $X$ un schéma lisse sur $k$ un corps parfait de caractéristique $p$. On considère la perfection de $X$,
$$ X_{\text{perf}} = \underset{\leftarrow}{\lim} \left ( ... \overset{\Fr}{\to} X \overset{\Fr}{\to} X \overset{\Fr}{\to} X \right ) $$ puis $W(X_{\text{perf}})$ le schéma formel obtenu en appliquant le foncteur des vecteurs de Witt au faisceau structural de $X_{\text{perf}}$.
Soit $\mathscr{G}$ l'unique groupoïde agissant sur $W(X_{\text{perf}})$ de telle sorte que le morphisme $\mathcal{G} \to W(X_{\text{perf}}) \times W(X_{\text{perf}})$ soit obtenu en prenant l'enveloppe à puissances divisées de l'idéal de définition de l'immersion fermée $X_{\text{perf}} \times_X X_{\text{perf}} \to W(X_{\text{perf}}) \times W(X_{\text{perf}})$.
Alors on a une équivalence de catégories entre les cristaux sur $X$ et les faisceaux quasi-cohérents sur le champ $W(X_{\text{perf}}) / \mathcal{G}$.

Bibliographie

Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland Publising Company, exposé IX : Crystals and the De Rham cohomology of schemes, par Alexandre Grothendieck, décembre 1966, notes de I. Coates et Olli Jussila.
Notes on crystalline cohomology, par Pierre Berthelot et Arthur Ogus, Princeton University Press, 1978.
Complexe de De Rham-Witt et cohomologie cristalline, par Luc Illusie, Annales scientifiques de l’É.N.S. 4^e série, tome 12, n°4, 1979.
Revisiting the De Rham-Witt complexe, par Bhargav Bhatt, Jacob Lurie et Akhil Mathew, 2018. arXiv.
Introduction to Prismatic Cohomology, séries d'exposés de Johannes Anschütz à l'école d'été 2023 de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, accessibles dans cette playlist.
Prisms and Prismatic Cohomology, par Bhargav Bhatt et Peter Scholze, 2019. arXiv.
A stacky approach to crystals, par Vladimir Drinfeld, 2018. arXiv.