Autour des cohomologies de Weil

Martin Baget

Les cohomologies de Weil, contrairement à ce que leur nom indique, n'ont pas été développées par André Weil, et un certain nombre d'indices poussent plutôt à croire que Weil ne croyait pas lui-même à l'existence de telles théories cohomologiques. Les propriétés des théories cohomologiques classiques - singulière, simpliciale, cellulaire, de De Rham, toutes reliées par des théorèmes de comparaison - ont été principalement découvertes entre 1895 (Analysis Situs d'Henri Poincaré) et les années 1920 (théorèmes de Lefschetz), en travaillant toujours dans le contexte des variétés différentielles. Weil, lui, travailla autour de 1940 sur un sujet totalement distinct : il voulait pouvoir approximer le nombre de points d'une courbe sur un corps fini, et y parvient en 1941. En 1949 (dans Numbers of solutions of equations in finite fields), il conjecture des généralisations de ses résultats aux dimensions supérieures - ce sont les fameuses conjectures de Weil. Son article ne mentionne aucunement la notion de cohomologie, et il ne sous-entend pas qu'une cohomologie devrait expliquer ses conjectures. Il faut dire que les cohomologies existantes reposaient lourdement sur la structure de variété différentielle et il paraissait inenvisageable de les généraliser à des espaces discrets. Néanmoins, ses conjectures font apparaître des invariants (genre, caractéristique d'Euler) liés à la cohomologie, et il semble qu'il ne pût s'empêcher de remarquer que l'existence d'une théorie cohomologique ayant des propriétés similaires à celles classiques permettrait de résoudre plusieurs de ses conjectures. C'est la mystérieuse « cohomologie de Weil », qui restera pendant 10 ans une énigme. La seule trace écrite de Weil sur ce sujet est son exposé au congrès international des mathématiciens de 1954, où il souligne qu'un résultat du même type que le théorème du point fixe de Lefschetz en cohomologie classique pourrait expliquer sa conjecture de rationalité.

Le premier mathématicien à avoir sérieusement travaillé sur l'introduction d'une cohomologie en géométrie algébrique est, semble-t-il, Jean-Pierre Serre. Il développe la cohomologie des faisceaux cohérents (1955) - toujours fondamentale aujourd'hui - mais ne trouve pas de théorie aux propriétés satisfaisantes. À l'inverse, il prouve que la cohomologie de Weil recherchée ne peut pas être à coefficients rationnels, ce qui épaissit le mystère. C'est finalement Alexandre Grothendieck qui, au tournant des années 60 (le 21 avril 1958 selon Luc Illusie !), perçoit le premier une piste vers une possible cohomologie, piste qui s'avérera concluante et explorée en détails lors du quatrième Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie (1963-64), menant à la résolution de trois des conjectures de Weil l'année suivante, et de la dernière en 1973. Mais la cohomologie de Weil est finalement apparue au pluriel : il s'agit des cohomologies $\ell$-adiques, une infinité, dont les relations sont encore mal comprises, sans compter les cohomologies cristalline, rigide, etc, qui ont été développées par la suite. Même si les conjectures de Weil ont été résolues, le sujet des cohomologies de Weil est ainsi encore un domaine de recherche actif comptant de nombreuses conjectures, mais ce n'est pas le rôle de cette introduction d'entrer dans plus de détails. On l'achèvera par deux citations de Grothendieck en lien avec le sujet :

Mais la possibilité d’associer de tels invariants [cohomologiques] aux variétés algébriques “abstraites” qui interviennent dans ces conjectures, de façon à répondre aux desiderata très précis exigés pour les besoins de cette cause-là [les conjectures de Weil] — c’était là un simple espoir. Je doute qu’en dehors de Serre et de moi-même, personne d’autre (pas même, et surtout, André Weil lui-même !) n’y croyait vraiment... (Récoltes et semailles)

On peut dire qu’en passant de la cohomologie de Zariski à la topologie étale, « on a fait ce qu’il fallait » pour obtenir « le bon » $H^1$ pour un groupe de coefficients constant fini $G$. C’est un fait remarquable, qui sera démontré par la suite de ce séminaire, que cela suffit également pour trouver les « bons » $H^i(X, G)$ pour tout groupe de coefficients de torsion (du moins si G est premier aux caractéristiques résiduelles de X). (SGA4 VII)

Les principaux prérequis à la lecture de ce mémoire sont les suivants :

les extensions de corps et la théorie algébrique des nombres ;
la théorie des schémas, les propriétés des catégories de faisceaux et la cohomologie des faisceaux ;
des notions sur les diviseurs et le groupe de Picard ;
pour la première partie : le genre d'une courbe, la notion de courbe elliptique sur un corps général, le théorème de Riemann-Roch ;
pour la deuxième partie : les notions de morphisme étale, de site, de topologie étale et de topos, ainsi que les suites spectrales ;
pour l'avant-dernière section : des notions sur les catégories dérivées.

Ce texte constitue mon mémoire de Master 2 à l'université de Strasbourg, sous la supervision de Giuseppe Ancona. Je le remercie chaleureusement pour les heures consacrées à répondre à toutes mes questions, des plus basiques aux plus philosophiques, sur les sujets traités ici, et sur un certain nombre d'autres sujets proches qu'il a bien voulu me faire découvrir.

I. Genèse des conjectures de Weil

I.1. Les origines

Décider d'un point de départ pour une histoire de mathématiques est une tâche assurément difficile. On pourrait dans notre cas remonter jusqu'à Pietro Mengoli, mathématicien de Bologne qui en 1644 posa le problème de Bâle. Celui-ci, résolu un siècle plus tard par Leonhard Euler, poussa le mathématicien suisse à étudier les valeurs entières de la fonction zêta et de mettre au jour les premiers signes de l'équation fonctionnelle. On aurait aussi pu s'arrêter à Bernhard Riemann, qui le premier considéra la fonction zêta comme une fonction méromorphe sur tout le plan complexe, explicita l'équation fonctionnelle, mais surtout conjectura que ses zéros non triviaux ont tous partie réelle $\frac{1}{2}$ sur la seule évidence de calculs approximés du nombre de zéros dans la bande critique à partie imaginaire bornée. C'est la naissance de l'hypothèse de Riemann qui, dans une variante que l'on va expliciter un peu plus loin, est la raison d'être des cohomologies de Weil.

Un autre point de départ possible aurait été le travail précurseur de Richard Dedekind et Heinrich Weber qui, dans leur livre Théorie des fonctions algébriques en une variable (Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen, 1882), fondent l'analogie entre corps de nombres et courbe sur un corps. Plus précisément, ils étudient la théorie des surfaces de Riemann avec un point de vue arithmétique, faisant l'analogie entre nombre entier et polynôme, entre nombre rationnel et fraction rationnelle, et importent les notions de nombre algébrique, d'entier algébrique, d'idéals, de modules, etc, dans le monde géométrique. Ils définissent un point comme une application d'évaluation sur les fonctions et prouvent que de telles applications sont en correspondance avec les valuations de l'anneau des fonctions. Si Dedekind et Weber partent de l'arithmétique pour aller vers la géométrie, l'analogie qu'ils fondent sera cruciale dans le sens inverse : le point-clé de la première preuve de rationalité de la fonction zêta d'une courbe projective lisse sur un corps fini, qui sera détaillée plus loin, a par exemple été de montrer que la preuve du théorème de Riemann-Roch donnée par Dedekind et Weber se généralise dans ce contexte. Mais plus généralement, l'idée même d'utiliser des arguments géométriques comme la cohomologie dans le contexte arithmétique doit quelque chose à Dedekind et Weber.

Un autre travail de Dedekind est fondamental pour ce qui va nous intéresser : il s'agit d'un article de 1857 (Abriss einer Teorie der höheren Kongruenzen in Bezug auf einen reelen Primzahl-Modulus) où il étudie l'arithmétique de l'anneau $\F_p[X]$ pour $p$ un nombre premier, et démontre des propriétés analogues à celle des entiers relatifs comme notamment la loi de réciprocité quadratique. Mais l'événement déclencheur de la quête des conjectures de Weil se produit en 1921 : il s'agit de la thèse d'Emil Artin (Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen). Artin se propose d'étudier, dans la lignée de Dedekind, les propriétés arithmétiques d'une extension quadratique $K$ du corps $\F_p(X)$. Il démontre de nombreuses propriétés analogues au cas des corps de nombres : l'anneau des entiers est un anneau de Dedekind, le groupe des unités est fini ou généré modulo torsion par une unité fondamentale, le groupe des classes d'idéaux est fini, les premiers ramifiés sont ceux divisant le discriminant. La thèse d'Artin contient ensuite une deuxième partie analytique. Définissons par analogie avec le cas des corps de nombres une fonction zêta :
$$ \zeta_K(s) = \Prod{\p \neq 0}{} \frac{1}{1 - \text{N}(\p)^{-s}} $$ où le produit porte sur les idéaux premiers non nuls (c'est-à-dire maximaux dans ce contexte) de l'anneau des entiers de $K$ et $\text{N}(\p)$ est le cardinal de l'anneau quotient par $\p$ (qui est fini égal à une puissance de $p$). Artin parvient à démontrer que sa fonction zêta est en réalité une fonction rationnelle en $t = p^{-s}$ avec un seul pôle, simple, en $t = \frac{1}{p}$, et qu'elle vérifie une équation fonctionnelle reliant la valeur en $1-s$ à celle en $s$. Il décrit les zéros triviaux qui peuvent apparaître en $t = 1$ ou $t = -1$, et démontre que les zéros non triviaux de $\zeta_K$ ont une partie réelle comprise strictement entre $0$ et $1$. Le parallèle avec la fonction zêta de Riemann est frappant ! Artin ne conjecture pas explicitement que l'hypothèse de Riemann est aussi satisfaite dans ce contexte, mais la vérifie à la main pour des corps $K$ explicites, laissant ainsi sous-entendre sa véracité. Il ne travaillera pas sur le sujet par la suite et laisse ainsi d'autres mathématiciens s'attaquer à celui-ci, ce qui ne manquera pas d'arriver.

Le premier mathématicien à progresser sur la question est Friedrich Karl Schmidt. Sa thèse en 1925 généralise les résultats arithmétiques obtenus par Artin à une extension finie séparable $K$ de $\F_q(X)$, où $q$ est une puissance de $p$ premier. Dans les années suivantes, il se penche sur l'étude de la fonction $\zeta_K$. Le premier achèvement notable de Schmidt est de définir une nouvelle fonction zêta plus commode à manipuler, en remplaçant les idéaux premiers par des valuations, ou, dans un langage plus moderne, en ajoutant les points à l'infini dans la définition. Permettons-nous de passer dès à présent au langage des schémas, un anachronisme qui est utile pour la clarté de l'exposé je le crois. Le corps $K$ définit la courbe $\Spec(R)$ où $R$ est l'anneau des entiers de $K$, et la fonction zêta considérée par Artin est
$$ \zeta_K(s) = \Prod{P}{} \frac{1}{1 - \text{N}(P)^{-s}} $$ où le produit porte sur les points fermés de la courbe $\Spec(R)$ et $\text{N}(P)$ est le cardinal du corps résiduel en $P$. Considérons maintenant $C$ la projectivisation de la courbe $\Spec(R)$, alors la même définition a un sens :
$$ \zeta_C(s) = \Prod{P \in C}{} \frac{1}{1 - \text{N}(P)^{-s}} $$ où, là encore, le produit porte sur les points fermés. C'est une telle fonction zêta d'une courbe projective lisse que l'on considère par la suite. Ce processus de rajouter les points à l'infini correspond dans le cas des corps de nombres à ajouter les facteurs Gamma, et produit les mêmes effets : les zéros triviaux disparaissent, les pôles deviennent symétriques, l'équation fonctionnelle s'écrit de façon plus naturelle. La différence est que pour les corps de nombres, les facteurs Gamma sont des objets assez mystérieux dont aucune interprétation géométrique satisfaisante n'est encore connue, alors que dans notre situation on remplace simplement une courbe par sa projectifiée, ce qui s'interprète très bien géométriquement et permet par ailleurs d'utiliser l'arsenal de résultats connus en géométrie projective (Riemann-Roch etc), y compris concernant la cohomologie (dualité de Poincaré etc), ce qui - le titre le laisse présager - va être central pour la suite de notre histoire.

Le deuxième achèvement de Schmidt (Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristik p, 1931) a été mentionné précédemment car reposant sur le travail de Dedekind et Weber :

Théorème - de rationalité de $\zeta_C$ (Friedrich Karl Schmidt, 1931)

Soit $q$ une puissance d'un nombre premier, $C$ une courbe projective lisse sur $\F_q$ et $\zeta_C$ sa fonction zêta. Alors il existe un polynôme $L_C \in \Z[T]$ de degré au plus $2g$, où $g$ est le genre de $C$, tel que
$$ \zeta_C(s) = \frac{L_C(t)}{(1-t)(1-qt)} $$ avec $t = q^{-s}$. De plus, $L_C(1) \neq 0$ et $L_C(\frac{1}{q}) \neq 0$ donc modulo sa $\frac{2i\pi}{ln(q)}$-périodicité $\zeta_C$ a exactement deux pôles, en $0$ et $1$, tous deux d'ordre $1$.

Hormis l'utilisation du théorème de Riemann-Roch, la preuve est assez élémentaire, mais admet tout de même un point technique qui nécessite de connaître quelques propriétés de base de la fonction zêta résumées dans le lemme suivant. Ces propriétés n'étant pas spécifiques à une courbe, on les énonce pour $X$ une variété projective lisse sur $\F_\q$ de dimension quelconque. Sa fonction zêta est définie de façon naturelle par
$$ \zeta_X(s) = \Prod{P \in X}{} \frac{1}{1 - \text{N}(P)^{-s}} $$ où le produit porte sur les points fermés de $X$, et $\text{N}(P) = \Card(k(P))$ est fini comme corollaire du lemme de Zariski.
La preuve du lemme est assez longue et de peu d'intérêt comparé à celle du théorème, aussi on l'a enroulée par défaut. Le lecteur qui souhaite la lire peut la dérouler en appuyant sur le petit triangle noir.

Lemme

Soit $q$ une puissance d'un nombre premier, $X$ une variété projective lisse sur $\F_\q$ et $\zeta_X$ sa fonction zêta. Alors

$ \zeta_X(s) = \exp \left ( \Sum{n \in \N^*}{} \Card(X(\F_{q^n})) \frac{t^n}{n} \right ) $ où $t = q^{-s}$ et $X(\F_{q^n})$ est l'ensemble des $\F_{q^n}$-points de $X$ ;
il existe une constante $C \in \R_+^*$ telle que $\Card(X(\F_{q^n})) \leqslant C q^{ n \dim(X) }$. Par conséquence, $\zeta_X(s)$ converge pour $\Re(s) > \dim(X)$ ;
pour $r \in \N^*$, si l'on note $X_r$ le changement de base de $X$ à $\F_{q^r}$, alors $ \zeta_{X_r}(rs) = \Prod{k = 0}{r - 1} \zeta_X \left ( s + \frac{2ik\pi}{r ln(q)} \right ) $.

▼ Preuve

On écrit
\begin{align*} \zeta_X(s) &= \Prod{P \in X}{} \frac{1}{1 - \text{N}(P)^{-s}} \\ &= \exp \left ( \Sum{P \in X}{} - \ln(1 - \text{N}(P)^{-s}) \right ) \\ &= \exp \left ( \Sum{P \in X}{} \Sum{m \in \N^*}{} \frac{\text{N}(P)^{-ms}}{m} \right ) \\ &= \exp \left ( \Sum{P \in X}{} \Sum{m \in \N^*}{} \frac{t^{m \dim_{\F_q}(k(P))}}{m} \right ) \\ &= \exp \left ( \Sum{n \in \N^*}{} \left ( \Sum{P \in X, \ \dim_{\F_q}(k(P)) | n}{} \dim_{\F_q}(k(P)) \right ) \frac{t^n}{n} \right ) & \text{où l'on a posé } n = m \dim_{\F_q}(k(P)) \\ &= \exp \left ( \Sum{n \in \N^*}{} \left ( \Sum{d|n}{} d \ \Card \{ P \in X \ | \ \dim_{\F_q}(k(P)) = d \} \right ) \frac{t^n}{n} \right ) \end{align*} et pour conclure il suffit de se convaincre que la somme $\Sum{d|n}{} d \ \Card \{ P \in X \ | \ \dim_{\F_q}(k(P)) = d \}$ qui apparaît correspond exactement au nombre de $\F_{q^n}$-points de $X$ : en effet, un point $P$ tel que $\dim_{\F_q}(k(P)) = d$ définit $d$ différents morphismes $\Spec(\F_{q^n}) \to X$, puisque cela revient à choisir une inclusion $\F_{q^d} \to \F_{q^n}$ et donc un élément du groupe de Galois $\Gal(\F_{q^d}/\F_q)$ ;
On démontre le résultat par récurrence sur $\dim(X)$. $X$ étant projective, on peut choisir une immersion fermée $i : X \to \P_{\F_q}^N$ pour un entier $N$ minimal. On choisit aussi un ouvert standard $Y$ de $\P_{\F_q}^N$ isomorphe à l'espace affine $\A_{\F_q}^N$, son fermé complémentaire $Z$ est alors isomorphe à $\P_{\F_q}^{N-1}$. Comme $N$ est choisit de façon minimale, $X$ ne peut pas être inclus dans $Z$, donc $X \cap Z$ est un fermé strict de $Z$. Ainsi $\dim(X \cap Z) < \dim(X)$ est donc par hypothèse de récurrence on a une borne de la forme souhaitée sur le nombre de points de $X \cap Z$. Il reste à borner le nombre de points de $X \cap Y$. Pour cela, on utilise le lemme de normalisation de Noether, qui donne un morphisme fini $X \cap Y \to \A_{\F_q}^d$ où $d = \dim(X \cap Y) \leqslant \dim(X)$. Les fibres de ce morphisme sont finies de cardinal borné par un entier $D$, et donc on obtient une borne de la forme $D q^{n d}$ sur le nombre de $\F_{q^n}$-points de $X \cap Y$, ce qui termine la preuve.
À droite, les différents facteurs sont exactement choisis de sorte que lorsque l'on écrit $\zeta_X$ en la variable $t = q^{-s}$ par le point (i), des sommes exponentielles vont apparaître et ne laisser que les termes d'indice divisible par $r$ :
$$ \Prod{k=0}{r-1} \zeta_X \left ( s + \frac{2ik\pi}{r ln(q)} \right ) = \exp \left ( \Sum{n \in \N^*}{} \Card(X(\F_{q^n})) \frac{t^n}{n} \Sum{k=0}{r-1} e^{\frac{2ikn\pi}{r}} \right ) $$ La somme exponentielle apparaissant est nulle pour les indices non divisibles par $r$, et égale à $r$ sinon. Posant le changement de variable $n = mr$, on trouve
$$ \Prod{k=0}{r-1} \zeta_X \left ( s + \frac{2ik\pi}{r ln(q)} \right ) = \exp \left ( \Sum{m \in \N^*}{} \Card(X(\F_{q^{mr}})) \frac{t^{mr}}{m} \right ) $$ Utilisant à nouveau (i), on voit que l'expression de droite est exactement $\zeta_{X_r}(rs)$.

Rappelons l'énoncé du théorème de Riemann-Roch sur lequel repose la preuve :

Théorème - de Riemann-Roch

Soit $C$ une courbe projective lisse sur un corps $k$ de genre $g$. On note $\Omega$ la classe de diviseurs correspondant au fibré tangent. Alors pour tout diviseur $D$ sur $C$, on a
$$ \dim_k(\mathscr{L}(D)) - \dim_k(\mathscr{L}(\Omega - D)) = \deg(D) - g + 1 $$

On peut désormais s'attaquer à la preuve du théorème de rationalité :

▼ Preuve du théorème de rationalité

Si l'on développe la fonction zêta,
$$ \zeta_C(s) = \Prod{P \in C}{} \frac{1}{1 - \text{N}(P)^{-s}} = \Sum{n \in \N}{} a_n t^n $$ alors $a_n$ s'interprète comme le nombre de diviseurs effectifs sur $C$ ayant degré $n$. On peut écrire
$$ a_n = \Sum{H \in \Pic^n(C)}{} a_H $$ où $\Pic^n(C)$ est l'ensemble des éléments de $\Pic(C)$ de degré $n$ et $a_H$ est le nombre de diviseurs effectifs dont la classe modulo équivalence rationnelle est $H$. Fixons un $n \in N$, une classe $H \in \Pic(C)$ de degré $n$ et un élément $D \in H$. Alors la donnée d'un autre élément $D' \in H$ revient à la donnée d'une fonction rationnelle non nulle dans $\mathscr{L}(D)$ puisque si $D' = D + \text{div}(f)$, dire que $D'$ est effectif revient à dire que les pôles de $f$ sont contrôlés par $D$. Plus précisément, la donnée de $D'$ revient à la donnée d'une fonction rationnelle non nulle dans $\mathscr{L}(D)$ modulo multiplication par un scalaire non nul (qui ne change pas le diviseur). Ainsi
$$ a_H = \frac{q^{\dim_{\F_q}(\mathscr{L}(D))}-1}{q-1} $$

La dimension qui apparaît est donnée par le théorème de Riemann-Roch. Pour $\deg(D) > \deg(\Omega) = 2g-2$, $\deg(\Omega - D) < 0$ et donc le deuxième terme apparaissant dans l'énoncé du théorème de Riemann-Roch est nul. On en déduit que pour tout $H \in \Pic^n(C)$ avec $n > 2g-2$, $ a_H = \frac{q^{n-g+1} - 1}{q - 1} $ puis $ a_n = d_n \frac{q^{n-g+1} - 1}{q - 1} $ où $d_n$ est le nombre d'éléments de $\Pic(C)$ de degré $n$.

L'image de l'application degré $\Pic(X) \to \Z$ est un sous-groupe, donc de la forme $e\Z$ pour un certain $e \in \N^*$. Le point le plus délicat de la preuve est de montrer que dans notre cas on a en fait $e = 1$ ; suivant la méthode de Bhargav Bhatt, on va le déduire en fin de preuve. Prouvons pour l'instant que
$$ d_n = \left | \begin{array}{ll} d_0 & \text{ si } e|n \\ 0 & \text{ sinon } \end{array} \right. $$ Par définition de $e$, on a bien $d_n = 0$ si $e$ ne divise pas $n$, et on peut choisir un diviseur $D$ de degré $e$. Si $e$ divise $n$, alors l'application $D' \mapsto D' + \frac{n}{e}D$ envoie les diviseurs de degré $0$ sur ceux de degré $n$, et se factorise pour donner une application $\Pic^0(C) \to \Pic^n(C)$. C'est une bijection puisque l'application réciproque est induite par l'application $D' \mapsto D' - \frac{n}{e}D$. On déduit de tous les calculs effectués jusqu'à présent que
$$ \zeta_C(s) = \Sum{n=0}{2g-2} a_n t^n + \Sum{n \geqslant \frac{2g-1}{e}}{} d_0 \frac{q^{ne-g+1} - 1}{q - 1} t^{ne} $$ La somme de droite est simplement constituée de deux sommes géométriques et se calcule donc aisément. On note $n_0$ le plus petit entier vérifiant $n_0 \geqslant \frac{2g-1}{e}$. On a alors
\begin{align*} \zeta_C(s) &= \Sum{n=0}{2g-2} a_n t^n + \frac{d_0}{q-1} \left ( \frac{1}{q^{g-1}} . \frac{(qt)^{e n_0}}{1 - (qt)^e} - \frac{t^{e n_0}}{1 - t^e} \right ) \\ &= \frac{1}{(1 - t^e)(1 - (qt)^e)} \left ( \frac{d_0(qt)^{e n_0} (1 - t^e)}{q^{g-1} (q - 1)} - \frac{d_0 t^{e n_0} (1 - (qt)^e)}{q - 1} + (1 - t^e)(1 - (qt)^e) \Sum{n=0}{2g-2} a_n t^n \right ) \\ &= \frac{L_C(t)}{(1 - t^e)(1 - (qt)^e)} \end{align*}

où $L_C$ est un polynôme de degré au plus $\max \{ en_0 + e ; 2g-2+2e \}$, et où l'on a
$$ L_C(1) = - \frac{d_0(1 - q^e)}{q-1} \neq 0 $$ $$ L_C(\frac{1}{q}) = \frac{d_0(1 - (\frac{1}{q})^e)}{q^{g-1}(q-1)} \neq 0 $$ $$ L_C = d_0 T^{e n_0} \left ( \frac{q^e - q^{en_0 - g + 1}}{q-1} T^e + \frac{q^{en_0 - g + 1} - 1}{q-1} \right ) + (1 - T^e)(1 - (qT)^e) \Sum{n=0}{2g-2} a_n T^n \in \Z[T] $$ Si l'on prouve $e = 1$ comme annoncé, alors $n_0 = 2g-1$ et on obtient bien la borne $2g$ sur le degré du polynôme, et donc l'ensemble du théorème.

Pour démontrer que $e = 1$ on remarque que l'écriture ci-dessus montre non seulement que $\zeta_C$ a un zéro simple en $t=1$, mais également en $t = \omega$ une racine $e$-ème de l'unité. En effet, le premier facteur du dénominateur s'annule tandis que le numérateur vaut $ L_C(\omega) = L_C(1) \neq 0 $. Fixons $\omega$ une racine primitive $e$-ème de l'unité. Alors $\zeta_C$ a un pôle pour chaque $t = \omega^k$ avec $k = 0, ..., e-1$, ce qui équivaut à $s = \frac{2ik \pi}{e ln(q)}$. On utilise le lemme avec $r=e$ :
$$ \zeta_{C_{\F_{\q^e}}}(es) = \Prod{k = 0}{e - 1} \zeta_C \left ( s + \frac{2ik\pi}{e ln(q)} \right ) $$ Lorsque $s \to 0$, chaque terme du produit de droite admet un pôle, donc $\zeta_{C_{\F_{\q^e}}}$ admet un pôle d'ordre $e$ en $0$. Mais par ailleurs on a démontré juste au-dessus que $\zeta_C$ admet un pôle d'ordre exactement $1$ en $0$ pour toute courbe projective lisse $C$ ; en particulier on peut prendre $C_{\F_{\q^e}}$ et en comparant l'ordre des pôles en obtient bien $e=1$, ce qui termine la preuve du théorème.

Schmidt parvient également à démontrer l'équation fonctionnelle avec des méthodes similaires :

Théorème - Équation fonctionnelle de $\zeta_C$ (Friedrich Karl Schmidt, 1931)

Soit $q$ une puissance d'un nombre premier, $C$ une courbe projective lisse sur $\F_q$ et $\zeta_C$ sa fonction zêta. Alors celle-ci satisfait l'équation fonctionnelle
$$ \zeta_C(1-s) = q^{(2-2g)(\frac{1}{2} - s)} \zeta_C(s) $$

▼ Preuve

On a justifié au début de la preuve de la rationalité que
$$ \zeta_C(s) = \Sum{ \begin{array}{c} H \in \Pic(X) \\ \deg(H) \geqslant 0 \end{array} }{} \frac{q^{\dim(\mathscr{L}(H))} - 1}{q-1} t^{\deg(H)} $$ où l'on note $\dim(\mathscr{L}(H))$ pour signifier $\dim(\mathscr{L}(D))$ pour n'importe quel diviseur $D \in H$ (la dimension étant indépendante du choix de $D$). Il faut d'abord réécrire astucieusement cette somme pour avoir une expression symétrique. On rappelle que tous les groupes $\Pic^n(X)$ pour $n \in \Z$ sont de même cardinal fini que l'on a noté $d_0$. On a donc
$$ \Sum{ \begin{array}{c} H \in \Pic(X) \\ \deg(H) \geqslant 0 \end{array} }{} t^{\deg(H)} = d_0 \Sum{n \in \N}{} t^n = d_0 \ . \frac{1}{1 - t} = - d_0 \ . \frac{\frac{1}{t}}{1 - \frac{1}{t}} = - d_0 \Sum{ \begin{array}{c} n \in \Z \\ n < 0 \end{array} }{} t^n = - \Sum{ \begin{array}{c} H \in \Pic(X) \\ \deg(H) < 0 \end{array} }{} t^{\deg(H)} $$ Ainsi
\begin{align*} (q-1) \zeta_C(s) &= \Sum{ \begin{array}{c} H \in \Pic(X) \\ \deg(H) \geqslant 0 \end{array} }{} q^{\dim(\mathscr{L}(H))} t^{\deg(H)} - \Sum{ \begin{array}{c} H \in \Pic(X) \\ \deg(H) \geqslant 0 \end{array} }{} t^{\deg(H)} \\ &= \Sum{ \begin{array}{c} H \in \Pic(X) \\ \deg(H) \geqslant 0 \end{array} }{} q^{\dim(\mathscr{L}(H))} t^{\deg(H)} + \Sum{ \begin{array}{c} H \in \Pic(X) \\ \deg(H) < 0 \end{array} }{} t^{\deg(H)} \\ &= \Sum{H \in \Pic(X)}{} q^{\dim(\mathscr{L}(H))} t^{\deg(H)} \end{align*} où pour la dernière égalité on utilise que si $\deg(H) < 0$, on a $\dim(\mathscr{L}(H)) = 0$.

À partir de cette expression il suffit d'appliquer le théorème de Riemann-Roch pour conclure, comme suit :
\begin{align*} (q-1) \zeta_C(s) &= \Sum{H \in \Pic(X)}{} q^{\dim(\mathscr{L}(H))} t^{\deg(H)} \\ &= \Sum{H \in \Pic(X)}{} q^{\dim(\mathscr{L}(\Omega - H)) + \deg(H) - g + 1} t^{\deg(H)} && \text{par le théorème de Riemann-Roch} \\ &= \Sum{H \in \Pic(X)}{} q^{\dim(\mathscr{L}(\Omega - H)) + \deg(\Omega) - \deg(\Omega - H) - g + 1} t^{\deg(\Omega) - \deg(\Omega - H)} \\ &= \Sum{H' \in \Pic(X)}{} q^{\dim(\mathscr{L}(H')) + \deg(\Omega) - \deg(H') - g + 1} t^{\deg(\Omega) - \deg(H')} && \text{où l'on a posé } H' = \Omega - H \\ &= q^{g-1} t^{2g-2} \Sum{H' \in \Pic(X)}{} q^{\dim(\mathscr{L}(H'))} (qt)^{- \deg(H')} && \text{en utilisant que } \deg(\Omega) = 2g-2 \\ &= q^{-(2 - 2g)(\frac{1}{2} - s)} \Sum{H' \in \Pic(X)}{} q^{\dim(\mathscr{L}(H'))} (q^{-(1-s)})^{\deg(H')} \\ &= q^{-(2 - 2g)(\frac{1}{2} - s)} (q-1) \zeta_C(1-s) \end{align*}

En terme du polynôme $L_C$ apparaissant dans le théorème de rationalité, l'équation fonctionnelle se réécrit
$$ q^g t^{2g} L_C(\frac{1}{qt}) = L_C(t) $$ Combiné au fait que, en utilisant l'expression obtenue lors la preuve du théorème de rationalité, on a $ L_C(0) = a_0 = 1 $ (le seul diviseur effectif de degré zéro est le diviseur nul), cela permet d'obtenir les informations supplémentaires suivantes sur ce polynôme :

Corollaire

Soit $q$ une puissance d'un nombre premier, $C$ une courbe projective lisse sur $\F_q$ de genre $g$, $\zeta_C$ sa fonction zêta et $L_C$ le polynôme tel que
$$ \zeta_C(s) = \frac{L_C(t)}{(1-t)(1-qt)} $$ Alors $L_C$ est un polynôme de degré exactement $2g$, de coefficient constant $1$ et de coefficient dominant $q^g$, et si $\alpha$ est une racine de $L_C$, $\frac{1}{q \alpha}$ aussi.

I.2. La borne de Hasse

Contrairement au cas des corps de nombres, où l'hypothèse de Riemann originale de 1859, c'est-à-dire le cas le plus basique que l'on espère démontrer, est toujours complètement ouvert aujourd'hui, l'hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis soulevée par Artin est attaquée avec succès par Helmut Hasse une décennie après avoir été énoncée. Pour être précis, Hasse ne résout pas complètement la conjecture, il se limite au cas des courbes elliptiques, c'est-à-dire dire de genre $1$, qui ont une structure de variété abélienne et sont donc plus aisées à manier. C'est là la toute première fois qu'une conjecture de type hypothèse de Riemann est démontrée.

Théorème - Borne de Hasse (Helmut Hasse, 1933)

Soit $q$ une puissance d'un nombre premier, $C$ une courbe elliptique sur $\F_q$. Alors les zéros de $\zeta_C$ ont tous partie réelle $\frac{1}{2}$.

Le genre d'une courbe elliptique étant $1$, la fonction $\zeta_C$ peut s'écrire $\zeta_C(s) = \frac{L_C(t)}{(1-t)(1-qt)}$ où $L_C$ est un polynôme de la forme $L_C = q T^2 + a T + 1$ pour un certain entier $a \in \Z$. De plus, on peut exprimer $a$ en fonction du nombre $N = \Card(X(\F_q))$. En effet, on sait que
$$ \zeta_C(s) = \exp \left ( \Sum{n \in \N^*}{} \Card(X(\F_{q^n})) \frac{t^n}{n} \right ) $$ et donc
$$ L_C(t) = (1-t)(1-qt) \exp(Nt + \ri(t^2)) = 1 + (N - q - 1)t + \ri(t^2) $$ d'où $a = N - (q+1)$.

Si l'on note $\alpha$ et $\beta$ les deux racines complexes de $L_C$, alors on a $\alpha + \beta = \frac{q+1 - N}{q}$. L'hypothèse de Riemann pour la fonction $\zeta_C$ revient à dire que $\alpha$ et $\beta$ sont de module $q^{-1/2}$, et cela implique donc
$$ |N - (q+1)| \leqslant 2 \sqrt{q} $$ Cette inégalité est en fait équivalente au théorème, puisqu'elle revient à dire que le discriminant de $L_C$ est négatif. Or dans ce cas $\alpha$ et $\beta$ sont conjugués et donc leurs modules sont égaux. Comme $\alpha \beta = \frac{1}{q}$, on en conclut que $|\alpha| = |\beta| = q^{-1/2}$.

C'est cette forme du théorème qui est la plus connue, qui donne son nom au résultat (on borne le nombre de points de la courbe de façon non triviale) et qui est la façon dont Hasse lui-même voyait son théorème. En effet, Hasse connaissait Artin et avait été informé par lui de cette relation entre l'hypothèse de Riemann et l'approximation du nombre de points sur une courbe, mais il semble que la seule motivation de Hasse était cette approximation du nombre de points, et non l'hypothèse de Riemann en elle-même.

On rappelle que le degré d'un morphisme fini dominant, en particulier d'une isogénie entre variétés abéliennes, est la dimension de l'extension de corps correspondante. La preuve repose de façon cruciale sur le théorème suivant :

Théorème

Soit $A$ une variété abélienne sur un corps $k$ de dimension $g$. Alors le degré de la multiplication par $n$ est $n^{2g}$.

Pour une courbe elliptique, tout endomorphisme non nul est une isogénie. Si l'on pose par convention $\deg(0) = 0$, alors $\deg$ est défini sur tout $\End(C)$ et le théorème précédent permet d'étendre cette application en une forme quadratique sur l'espace vectoriel $\End(C) \otimes_\Z \Q$. On utilisera aussi que cet espace vectoriel est de dimension finie, ce qui se démontre en utilisant le théorème précédent et le fait que, après tensorisation par $\Q_\ell$, celui-ci s'injecte dans le module de Tate pour $\ell$ distinct de la caractéristique du corps de base.

On utilise encore que pour un morphisme fini dominant $f : X \to Y$ qui est de plus plat - ce qui est toujours le cas pour un endomorphisme de variété abélienne, et pour tout point $y \in Y$, le degré est égal à la dimension des sections globales de la fibre $X_y$ sur le corps résiduel $k(y)$. De plus, si $f$ induit une application surjective sur les espaces tangents, alors cette dimension est encore égale au nombre de points de la fibre $X_y$.

▼ Preuve de la borne de Hasse

Par le théorème ci-dessus, l'application degré $\deg : \End(C) \to \N$ définit une forme quadratique définie positive sur l'espace vectoriel de dimension finie $\End(C) \otimes_\Z \Q$. La forme bilinéaire associée est $u, v \to \frac{1}{2}(\deg(u+v) - \deg(u) - \deg(v))$, et on peut écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz correspondante :
$$ | \deg(u+v) - \deg(u) - \deg(v)| \leqslant 2 \sqrt{\deg(u) \deg(v)} $$ Le nombre $N$ de points que l'on veut borner correspond au nombre de points fixes de l'opérateur de Frobenius $\Fr$, c'est-à-dire au nombre de points dans le noyau de de l'endomorphisme $\Fr - \id$. L'application induite par $\Fr - \id$ sur les espaces tangents étant bien surjective, on a par les résultats généraux rappelés ci-dessus que $N = \deg(\Fr - \id)$. L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour $\Fr$ et $\id$ s'écrit donc
$$ |N - \deg(\Fr) - 1| \leqslant 2 \sqrt{\deg(\Fr)} $$
Pour conclure il suffit donc de prouver que $\deg(\Fr) = q$. On notera qu'on ne peut pas appliquer ici le critère utilisé précédemment puisque le Frobenius induit l'application nulle sur les espaces tangents. On revient directement à la définition : il s'agit de calculer la dimension de $K$ sur $K^q = \{ x^q \ | \ x \in K \}$, sachant que $K$ est une extension finie de $\F_q(T)$. Le cas de $\F_q(T)$ lui-même est facile, puisqu'il s'agit de calculer la dimension de $\F_q(T)$ sur $\F_q(T^q)$, et on a une base canonique de cardinal $q$ : $1$, $T$, ..., $T^{q-1}$. En général on se ramène à ce cas-là en voyant qu'on a deux tours d'extensions :
\begin{CD} K^q @>>> K \\ @AAA @AAA \\ \F_q(T^q) @>>> \F_q(T) \end{CD} La dimension étant multiplicative, pour conclure $\dim_{K^q}(K) = \dim_{\F_q(T^q)}(\F_q(T))$ il suffit de prouver que $\dim_{\F_q(T^q)}(K^q) = \dim_{\F_q(T)}(K)$. Ceci est vrai puisque dans le diagramme commutatif suivant
\begin{CD} K @>\Fr>> K^q \\ @AAA @AAA \\ \F_q(T) @>\Fr>> \F_q(T^q) \end{CD} les flèches du Frobenius sont des isomorphismes (surjectives par définition des espaces d'arrivée, injectives puisque $x^q = 0 \implies x = 0$). D'où le résultat souhaité.

I.3. La borne de Hasse-Weil

L'étape suivante dans la genèse des conjectures de Weil est l'arrivée et les travaux d'André Weil lui-même. Pendant la seconde guerre mondiale, Weil, qui refuse d'y participer, se consacre à essayer de généraliser le résultat de Hasse à une courbe de genre quelconque. Weil entrevoit dès le printemps 1940 une méthode de preuve, mais ne parvient pas à démontrer le lemme fondamental sur lequel celle-ci repose. À l'été 1941, alors qu'il s'est exilé aux États-Unis, Weil trouve une autre méthode de preuve et parvient à la mener à bien.

Théorème - Borne de Hasse-Weil (André Weil, 1941)

Soit $q$ une puissance d'un nombre premier, $C$ une courbe projective lisse sur $\F_q$. Alors les zéros de $\zeta_C$ ont tous partie réelle $\frac{1}{2}$.

Comme pour la borne de Hasse, la borne de Hasse-Weil équivaut à une inégalité sur le nombre $N$ de points de $C$, qui s'écrit
$$ |N - (q+1)| \leqslant 2 g \sqrt{q} $$ où $g$ est le genre de $C$. En effet,

dans un sens, on note d'abord que l'argument de la section précédente pour justifier que le coefficient en degré $1$ de $L_C$ est $N - (q+1)$ est toujours valable (même si cela ne détermine plus l'entièreté du polynôme). Si $\alpha_1, ..., \alpha_{2g}$ sont les racines de $L_C$, et sachant que leur produit vaut $q^{-g}$, on a donc
$$ - \frac{N - (q+1)}{q^g} = \Sum{i=1}{2g} \frac{\alpha_1 ... \alpha_{2g}}{\alpha_i} = \Sum{i=1}{2g} \frac{1}{q^g \alpha_i} $$ et l'inégalité triangulaire donne la borne souhaitée ;
dans l'autre sens, il faut considérer les courbes $C_r$ pour $r \in \N^*$, c'est-à-dire le changement de base de $C$ à $\F_{q^r}$. La relation entre la fonction zêta de $C_r$ et de $C$ va impliquer que, si $\alpha_1, ..., \alpha_{2g}$ sont les racines de $L_C$, les racines de $L_{C_r}$ sont $\alpha_1^r, ..., \alpha_{2g}^r$. La borne pour $C_r$ s'écrit
$$ \left | \Sum{i=1}{2g} \alpha_i^{-r} \right | \leqslant 2g q^{r/2} $$ et cela étant valable pour tout $r \in \N^*$, on en déduit que $|\alpha_i^{-1}| \leqslant \sqrt{q}$ pour tout $i$. Ajoutant à cela la relation $\alpha_1 ... \alpha_{2g} = q^{-g}$, on en conclut bien que $|\alpha_i| = q^{-1/2}$.

La preuve de Weil repose lourdement sur la théorie de l'intersection sur les surfaces, qui a été développée notamment par l'école italienne pour la géométrie algébrique complexe et que Weil a dû généraliser à des corps quelconques à cette occasion. La point-clé est l'inégalité suivante :

Théorème - Inégalité de Castelnuevo-Severi (Francesco Severi, 1926)

Soit $k$ un corps algébriquement clos, $C$ et $C'$ deux courbes projectives lisses sur $k$, $P$ un point de $C$, $P'$ un point de $C'$, et $D$ un diviseur sur $C \times_k C'$. La forme d'intersection $( \underline{ } \cdot \underline{ } ) : \Pic(C \times_k C')^2 \to \Z$ vérifie l'inégalité
$$ (D \cdot D) \leqslant 2 (D \cdot P \times_k C') (D \cdot C \times_k P') $$

On donne ci-dessous une esquisse de preuve de la borne de Hasse-Weil à partir de l'inégalité de Castelnuevo-Severi :

▼ Esquisse de preuve de la borne de Hasse-Weil

On considère la courbe $\overline{C}$ qui est le changement de base de $C$ à $\overline{\F_q}$, et sur la surface $S = \overline{C} \times_{\overline{\F_q}} \overline{C}$ on définit deux diviseurs : la diagonale $\Delta$ et le graphe du Frobenius $\overline{C} \to \overline{C}$ noté $\Gamma$. L'idée de base est que le nombre d'intersection $\Delta \cdot \Gamma$ correspond au nombre de points fixes du Frobenius, c'est-à-dire $N$. Ainsi en appliquant l'inégalité de Castelnuevo-Severi à $\Delta + \Gamma$, par bilinéarité on va avoir une inégalité faisant intervenir $N$ et d'autres nombres d'intersection. Mais cela ne suffit pas et il faut en fait considérer les diviseurs $D_{r,s} = r \Delta + s \Gamma$ pour $r, s \in \Z$ et procéder à un passage à la limite. L'inégalité de Castelnuevo-Severi pour $D_{r,s}$ s'écrit
$$ r^2 (\Delta \cdot \Delta) + 2rsN + s^2 (\Gamma \cdot \Gamma) \leqslant 2 \left ( r (\Delta \cdot P \times_{\overline{\F_q}} \overline{C}) + s (\Gamma \cdot P \times_{\overline{\F_q}} \overline{C} ) \right ) \left ( r (\Delta \cdot \overline{C} \times_{\overline{\F_q}} P) + s (\Gamma \cdot \overline{C} \times_{\overline{\F_q}} P ) \right ) $$ Une fois calculés les nombres d'intersection :
$$ (\Delta \cdot \Delta) = \chi(\overline{C}) = 2 - 2g $$ $$ (\Gamma \cdot \Gamma) = \deg(\Fr) (\Delta \cdot \Delta) = q(2 - 2g) $$ $$ (\Delta \cdot P \times_{\overline{\F_q}} \overline{C}) = (\Delta \cdot \overline{C} \times_{\overline{\F_q}} P) = 1 $$ $$ (\Gamma \cdot P \times_{\overline{\F_q}} \overline{C} ) = 1 $$ $$ (\Gamma \cdot \overline{C} \times_{\overline{\F_q}} P ) = q $$ l'inégalité se réduit à
$$ r^2 (2-2g) + 2rsN + s^2 q (2-2g) \leqslant 2(r + s)(r + sq) $$ Si l'on développe à droite et que l'on rassemble tous les termes en $rs$ à gauche, il vient
$$ 2rs(N - (q+1)) \leqslant 2g(r^2 + qs^2) $$ Quitte à remplacer $r$ par $-r$, on voit que l'on peut faire apparaître des valeurs absolues autour de $N - (q+1)$ à gauche, et supposer $r, s \in \N^*$ par la suite. On a donc
$$ |N - (q+1)| \leqslant g(\frac{r}{s} + q \frac{s}{r}) $$ Par densité des rationnels, on a même
$$ |N - (q+1)| \leqslant g(t + \frac{q}{t}) $$ pour tout $t \in \R_+^*$. Le minimum est atteint pour $t = \sqrt{q}$ et donne précisément l'inégalité souhaitée,
$$ |N - (q+1)| \leqslant 2g\sqrt{q} $$

I.4. Énoncé des conjectures de Weil

Après le succès de son entreprise pour résoudre l'hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis soulevée par Artin, Weil passe l'essentiel de la décennie 1940 à développer des fondations solides pour la géométrie algébrique - par exemple la construction de la jacobienne d'une courbe sur un corps quelconque. Le résultat de ce travail est son célèbre ouvrage Foundations of Algebraic Geometry (1946). À la même période, il considère le cas de la dimension supérieure, en calculant explicitement le nombre de points dans des cas simples. Il parvient empiriquement à la conclusion qu'en dimension supérieure la fonction zêta a également des propriétés remarquables, résumées dans ses quatre célèbres conjectures :

Conjecture - Conjectures de Weil (André Weil, 1949)

Soit $q$ une puissance d'un nombre premier $p$, $X$ une variété projective lisse de dimension $d$ sur $\F_q$ et $\zeta_X$ sa fonction zêta. Alors celle-ci vérifie les propriétés suivantes :

(rationalité) il existe des polynômes $P_0, ..., P_{2d} \in \Z[T]$ tels que
$$ \zeta_X(s) = \frac{P_1(t) ... P_{2d-1}(t)}{P_0(t) ... P_{2d}(t)} $$ avec $ t = q^{-s}$. De plus, $P_0 = 1 - T$ et $P_{2d} = 1 - q^d T$ ;
(équation fonctionnelle) $\zeta_X$ satisfait l'équation fonctionnelle
$$ \zeta_X(d-s) = \pm q^{\chi(\overline{X}) (\frac{d}{2} - s)} \zeta_X(s) $$ où $\chi(X)$ est la caractéristique d'Euler de $\overline{X} = X \times_{\F_q} \overline{\F_{q}}$ ;
(hypothèse de Riemann) les racines complexes de $P_i$ ont module $q^{-\frac{i}{2}}$ ;
(nombres de Betti) si $X$ est la réduction modulo $p$ d'une variété projective lisse complexe $Y$ définie sur un corps de nombres, alors le degré de $P_i$ est le $i$-ème nombre de Betti de $Y$.

Le mot cohomologie n'est jusque là pas apparu dans l'exposé. Comme expliqué dans l'introduction, Weil ne semblait pas penser qu'une théorie cohomologique pouvait exister pour des variétés sur des corps finis et ne mentionne aucunement cette possibilité dans son article Numbers of solutions of equations in finite fields (1949) où il énonce ses conjectures. Malgré cela, et comme on l'a noté également en introduction, Weil avait remarqué que ses conjectures semblaient fortement liées au théorème du point fixe de Lefschetz en cohomologie classique. Expliquons donc ce lien qu'il a décelé, et que ses successeurs ont approfondi jusqu'à donner une vision entièrement cohomologique des conjectures de Weil.

Supposons que l'on ait construit un foncteur de cohomologie $H$ qui à toute variété $X$ associe des groupes de cohomologie $H^i(X)$ pour $i \in \N$, et vérifiant :

(théorème d'annulation) si $X$ est une variété de dimension $d$ sur un corps algébriquement clos, alors $H^i(X) = 0$ pour $i > 2d$ ;
(théorème de finitude) il existe un corps $K$ tel que pour toute variété $X$ et tout $i \in \N$, $H^i(X)$ soit un $K$-espace vectoriel de dimension finie.

On rajoutera d'autres hypothèses sur $H$ dans la suite de la discussion. On notera que le facteur $2$ qui apparaît dans le premier axiome s'interprète bien dans le cas complexe : une variété complexe lisse de dimension $d$ est une variété différentielle de dimension $2d$.

Le point de départ de l'interprétation cohomologique des conjectures de Weil est le fait suivant : si l'on fixe $X$ une variété projective lisse sur $\F_q$, $\overline{X}$ son changement de base à la clôture algébrique, alors pour tout $n \in \N^*$ le nombre $\Card(X(\F_{q^n}))$ est égal au nombre de points fixes de la puissance $n$-ième du Frobenius $\Fr^n$ sur $\overline{X}$. Or en cohomologie singulière le nombre de points fixes d'un opérateur s'exprime comme la somme alternée de ses traces sur les groupes de cohomologie : c'est le théorème du point fixe de Lefschetz. Ajoutons donc cet axiome à notre cohomologie $H$ :

(formule des traces) pour toute variété $X$ et tout endomorphisme $f$ de $X$, le nombre de points fixes de $f$ comptés avec multiplicités (on restera flou sur ce point) s'exprime sous la forme
$$ \Sum{i \in \N}{} (-1)^i \Tr(f| H^i(X)) $$ où $\Tr(f | H^i(X))$ désigne la trace de l'endomorphisme de $H^i(X)$ induit par $f$, et la somme est finie par l'axiome 1.

En croisant les doigts pour que les questions de multiplicité des points fixes puissent être ignorées dans notre cas, on peut alors réécrire la fonction zêta comme suit ($d$ est la dimension de $X$) :
\begin{align*} \zeta_X(s) &= \exp \left ( \Sum{n \in \N^*}{} \Card(X(\F_{\q^n})) \frac{t^n}{n} \right ) \\ &= \exp \left ( \Sum{n \in \N^*}{} \left ( \Sum{i=0}{2d} (-1)^i \Tr(\Fr^n | H^i(\overline{X})) \right ) \frac{t^n}{n} \right ) \\ &= \Prod{i=0}{2d} \exp \left ( \Sum{n \in \N^*}{} \Tr(\Fr^n | H^i(\overline{X})) \frac{t^n}{n} \right )^{(-1)^i} \end{align*} Une partie de la première conjecture de Weil se déduit alors du lemme élémentaire suivant :

Lemme

Soit $K$ un corps, $V$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $V$. Alors
$$ \exp \left ( \Sum{n \in \N^*}{} \Tr(f^n) \frac{T^n}{n} \right ) = \frac{1}{\det(\id - T f)} $$

▼ Preuve

Quitte à étendre les scalaires à la clôture algébrique de $K$, on peut supposer que $f$ s'écrit dans une certaine base comme une matrice triangulaire supérieure et on note $\alpha_1, ..., \alpha_d$ les éléments diagonaux de cette matrices. Alors l'égalité souhaitée revient à la simple égalité formelle
$$ \exp \left ( \Sum{n \in \N^*}{} \left ( \Sum{k=1}{d} \alpha_i^n \right ) \frac{T^n}{n} \right ) = \frac{1}{ \Prod{k=1}{d} 1 - T \alpha_i } $$ que l'on vérifie aisément :
$$ \frac{1}{ \Prod{k=1}{d} 1 - T \alpha_i } = \exp \left ( \Sum{k=1}{d} - ln(1 - T \alpha_i) \right ) = \exp \left ( \Sum{k=1}{d} \Sum{n \in \N^*}{} \frac{(T \alpha_i)^n}{n} \right ) = \exp \left ( \Sum{n \in \N^*}{} \left ( \Sum{k=1}{d} \alpha_i^n \right ) \frac{T^n}{n} \right ) $$

Les calculs précédents et le lemme nous donnent ainsi l'expression suivante de la fonction zêta :
$$ \zeta_X(s) = \Prod{i=0}{2d} \det(\id - t \Fr | H^i(\overline{X}) )^{(-1)^{i+1}} $$ Comme dit, cela n'est qu'une partie de la première conjecture de Weil, car les polynômes apparaissant ainsi sont à priori à coefficients dans $K$ et il n'est pas du tout clair que leurs coefficients soient entiers : c'est un point délicat que l'on passera sous silence. Mais en même temps, cette formule nous donne aussi beaucoup plus que la première conjecture de Weil, puisque l'on dispose ainsi d'une interprétation des polynômes $P_i$ apparaissant, ainsi que de leurs racines : ce sont les inverses des valeurs propres du Frobenius agissant sur le $i$-ème groupe de cohomologie.

La quatrième conjecture de Weil peut se voir dans ce contexte comme l'utilisation conjointe des deux axiomes suivants pour la cohomologie :

(théorème de comparaison) si $X$ est une variété complexe, alors sa cohomologie $H^i(X)$ est isomorphe à sa cohomologie singulière ;
(théorème de réduction) si $X$ est bonne réduction de $Y$, alors leurs cohomologies sont isomorphes.

La deuxième conjecture de Weil (l'équation fonctionnelle) se déduit de la dualité de Poincaré :

(dualité) si $X$ est une variété projective sur un corps algébriquement clos et $d$ sa dimension, alors $H^{2d}(X) \simeq K$ et pour tout $i \in \llbracket 0 ; d \rrbracket$ on a une application naturelle de dualité $<., .> : H^i(X) \times H^{2d-i}(X) \to H^{2d}(X)$. De plus, si $X$ est définie sur un corps fini, cette dualité est compatible avec les endomorphismes induits par le Frobenius, c'est-à-dire que $<\Fr(.), \Fr(.)> = \Fr(<., .>)$.

Explicitons le lien avec l'équation fonctionnelle. On fixe pour l'instant un entier $i$. Notons $A$ la matrice de l'endomorphisme Frobenius de $H^i(\overline{X})$ dans une base $(e_1, ..., e_n)$ pour l'instant quelconque et $B$ la matrice de l'endomorphisme Frobenius de $H^{2d-i}(\overline{X})$ dans une base duale $(f_1, ..., f_n)$ (déterminée par le choix d'un isomorphisme $H^{2d}(\overline{X}) \simeq K$). Alors la compatibilité du Frobenius avec la dualité permet de calculer
$$ <\Fr(e_i), \Fr(f_j)> = \left | \begin{array}{ll} \ q^d & \text{si } i = j \\ \ 0 & \text{ sinon} \end{array} \right . $$ On notera que $q^d$ apparaît ici car c'est la valeur propre de l'endomorphisme Frobenius de $H^{2d}(\overline{X})$ : on ne l'a pas démontré mais compte tenu de ce qui a été discuté ci-dessus c'est équivalent à la partie de la première conjecture de Weil affirmant que $P_{2d} = 1 - q^d T$. Ainsi la matrice de la forme bilinéaire $<\Fr(.), \Fr(.)>$, qui est ${}^t A B$, est simplement $q^d I_n$, et donc $B = q^d \ {}^t A^{-1}$.

Il s'agit maintenant de voir comment cette relation se traduit en terme des valeurs propres des endomorphismes Frobenius et de leurs multiplicités. Pour cela (et à nouveau, comme dans le lemme précédent, quitte à étendre les scalaires à la clôture algébrique), on choisit la base de $H^i(\overline{X})$ de façon à ce que $A$ soit triangulaire supérieure. Alors la matrice $B = q^d \ {}^t A^{-1}$ est une matrice triangulaire inférieure, et pour chaque valeur propre $\lambda$ de $A$, la valeur propre correspondante de $B$ est $\frac{q^d}{\lambda}$ et apparaît avec la même multiplicité. On en déduit les relations suivantes :
$$ \det(\Fr | H^{2d-i}(\overline{X})) = \Prod{\lambda}{} \frac{q^d}{\lambda} = \frac{q^{d \ \dim_K(H^i(\overline{X}))}}{\det(\Fr| H^i(\overline{X}))} $$ $$ \det(\id - T \Fr | H^{2d-i}(\overline{X})) = \Prod{\lambda}{} 1 - T \frac{q^d}{\lambda} = \frac{ \Prod{\lambda}{} \frac{\lambda}{q^d T} - 1 }{ \Prod{\lambda}{} \frac{\lambda}{q^d T} } = \frac{ (-1)^{\dim_K(H^i(\overline{X}))} \det(\id - \frac{\Fr}{q^d T} | H^i(\overline{X})) }{ \det(\Fr | H^i(\overline{X})) (q^d T)^{-\dim_K(H^i(\overline{X}))}} $$ où à chaque fois $\lambda$ parcourt les valeurs propres du Frobenius sur $H^i(\overline{X})$, avec répétitions si la multiplicité est au moins égale à deux.

L'équation fonctionnelle est obtenue à partir de ces relations en faisant leur produit alterné sur $i$, ce qui donne respectivement :
\begin{align*} \Prod{i=0}{2d} \det(\Fr | H^{2d-i}(\overline{X}))^{(-1)^{i+1}} &= \Prod{i=0}{2d} \frac{q^{(-1)^{i+1} d \ \dim_K(H^i(\overline{X}))}}{\det(\Fr|H^i(\overline{X}))^{(-1)^{i+1}}} \\ &= \frac{q^{- \chi(\overline{X}) \ d}}{ \Prod{i=0}{2d} \det(\Fr | H^i(\overline{X}))^{(-1)^{i+1}} } \end{align*} \begin{align*} \Prod{i=0}{2d} \det(\id - T \Fr^n | H^{2d-i}(\overline{X}))^{(-1)^{i+1}} &= \Prod{i=0}{2d} (-q^d T)^{(-1)^{i+1} \dim_K(H^i(\overline{X}))} \frac{ \det(\id - \frac{\Fr}{q^d T} | H^i(\overline{X}))^{(-1)^{i+1}} }{ \det(\Fr|H^i(\overline{X}))^{(-1)^{i+1}} } \\ &= (-q^d T)^{- \chi(\overline{X})} \frac{ \Prod{i=0}{2d} \det(\id - \frac{\Fr}{q^d T} | H^i(\overline{X}))^{(-1)^{i+1}} }{ \Prod{i=0}{2d} \det(\Fr|H^i(\overline{X}))^{(-1)^{i+1}} } \end{align*} Dans la première égalité, le produit de gauche $ \Prod{i=0}{2d} \det(\Fr | H^{2d-i}(\overline{X}))^{(-1)^{i+1}} $ est égal au produit de droite $ \Prod{i=0}{2d} \det(\Fr | H^i(\overline{X}))^{(-1)^{i+1}} $ (il s'agit simplement de renuméroter les indices) et on en déduit donc la valeur de ce produit au signe près :
$$ \Prod{i=0}{2d} \det(\Fr | H^i(\overline{X})) = \pm q^{- \chi(\overline{X}) \frac{d}{2}} $$ Dans la deuxième égalité, on reconnaît à gauche $ \Prod{i=0}{2d} \det(\id - t \Fr^n | H^{2d-i}(\overline{X}))^{(-1)^{i+1}} = \Prod{i=0}{2d} \det(\id - t \Fr^n | H^i(\overline{X}))^{(-1)^{i+1}} = \zeta_X(s) $ et au numérateur à droite $ \Prod{i=0}{2d} \det(\id - \frac{\Fr}{q^d t} | H^i(\overline{X}))^{(-1)^{i+1}} = \zeta_X(d-s)$. En remplaçant ces deux produits ainsi que celui au dénominateur par sa valeur déterminée juste ci-dessus, il vient :
$$ \zeta_X(s) = (-q^d t)^{- \chi(\overline{X})} \frac{\zeta_X(d-s)}{\pm q^{- \chi(\overline{X}) \frac{d}{2}}} $$ et on trouve précisément l'équation fonctionnelle souhaitée :
$$ \zeta_X(d-s) = \pm q^{\chi(\overline{X}) (\frac{d}{2} - s)}\zeta_X(s) $$

On notera que le théorème que l'on prouvé plus haut pour les courbes est plus fort, puisqu'il affirme que le signe apparaissant est toujours +. En dimensions supérieures la détermination de ce signe est un problème probablement difficile.

Il serait peut-être bon de terminer cette section par une petite digression sur ce que signifie plus précisément l'expression "cohomologie de Weil". L'expression n'a à vrai dire pas de définition formelle universellement acceptée, et ce n'est pas en soi un problème. Grothendieck lui-même utilisait l'expression pour signifier "une théorie cohomologique qui expliquerait les conjectures de Weil" et donc on peut dire en un sens qu'il s'agirait d'une théorie cohomologique $H$ vérifiant les six axiomes présentés ci-dessus - c'est en tout cas dans ce sens là qu'on va considérer cette expression dans ce mémoire. Mais l'expression "cohomologie de Weil" a pris peu à peu un nouveau sens dans le cadre de la théorie conjecturale des motifs : il s'agit alors plutôt d'une cohomologie qui se factorise par la catégorie des motifs. Dans ce cadre, les axiomes à prendre varient : la formule des traces (3) et les théorèmes de comparaison (4) et de réduction (5) ne sont plus pertinents, et on a besoin à la place d'autres axiomes tout aussi naturels : la formule de Künneth, les théorèmes de Lefschetz sur les sections hyperplanes, l'existence d'applications associant aux cycles algébriques des classes de cohomologie (la liste exacte des axiomes peut varier selon les auteurs). Cet autre point de vue ne sera pas abordé mais il est bon de le signaler. Pour les théories cohomologiques qui ont été construites, tous les axiomes voulus sont de toute façon vérifiés - au moins conjecturalement - et la question d'une liste exacte n'a de toute façon que peu d'importance.

Les sections suivantes sont consacrées à l'étude des cohomologies $\ell$-adiques, qui ont été les premières cohomologies de Weil créées.

II. Cohomologies $\ell$-adiques

On a mentionné dans l'introduction que Grothendieck a semble-t-il pressenti la manière de définir la cohomologie étale dès le printemps 1958, après un exposé Bourbaki de Serre où il montrait que certaines propriétés des variétés n'étaient vérifiées qu'après relèvement par un morphisme étale (sans le dire ainsi, puisque le mot "étale" a été introduit par Grothendieck). Grothendieck annonce ce pressentiment au Congrès international des mathématiciens d'Édimbourg à l'été. Dans les années suivantes, il décide cependant de se consacrer à rédiger la théorie des schémas, et il faut attendre le début des années 1960 pour que l'étude d'abord du groupe fondamental étale puis de la cohomologie étale ne soit effectuée dans les célèbres séminaires du Bois-Marie :

SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961, où est défini et étudié le groupe fondamental étale ;
SGA2 Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux, 1961–1962, où des résultats supplémentaires sur le groupe fondamental étale sont prouvés ;
SGA4 Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, 1963–1964, où est définie et étudiée la cohomologie étale ;
SGA5 Cohomologie $\ell$-adique et fonctions L, 1965–1966, contenant une preuve de la formule des traces et les résultats qui en découlent sur la fonction zêta ;
SGA7 Groupes de monodromie en géométrie algébrique, 1967–1969, reliant les propriétés de réduction des schémas à l'action du groupe de Galois sur le groupe fondamental ou la cohomologie étale, et démontrant divers autres résultats sur la cohomologie étale.

L'étude de la cohomologie étale entreprise dans cette partie est directement inspirée des travaux de ces séminaires, en particulier SGA4 et SGA5.

Rappelons très brièvement la définition de la cohomologie étale. Pour tout schéma $X$, la catégorie des schémas au-dessus de $X$ avec pour recouvrements les familles conjointement surjectives de morphismes étales forment un site, donnant naissance au topos étale sur $X$. Pour tout faisceau en groupes abéliens $\mathscr{F}$ dans ce topos, la cohomologie étale $H^*_{ét}(X, \mathscr{F})$ est alors définie en se donnant une résolution injective de ce faisceau dans la catégorie abélienne des faisceaux en groupes abéliens du topos étale sur $X$.

La définition de la cohomologie étale est ainsi très générale mais en pratique elle ne possède de bonnes propriétés que lorsque $\mathscr{F}$ est un faisceau de torsion. Or les groupes de cohomologie d'un tel faisceau ne sont pas définis sur un corps. Pour se ramener au cas où les groupes de cohomologie sont des espaces vectoriels, on définit la cohomologie $\ell$-adique :
$$ H^*_\ell(X) = \left ( \underset{\leftarrow n}{lim} \ H^*_{ét}(X, \Z / \ell^n \Z) \right ) \otimes_{\Z_\ell} \Q_\ell $$ pour tout nombre premier $\ell$ fixé. La relation entre les différentes cohomologies $\ell$-adiques est un problème difficile qui ne sera pas abordé. Dans la suite $\ell$ sera toujours fixé et si $X$ est une variété sur un corps $k$, on notera $p$ la caractéristique de $k$ et on supposera couramment que $\ell \neq p$ (sinon certains résultats ne sont plus valables).

On rappelle les six axiomes que la cohomologie $\ell$-adique doit vérifier pour impliquer directement certaines des conjectures de Weil, comme expliqué dans la section précédente :

(théorème d'annulation) si $X$ est une variété de dimension $d$ sur un corps algébriquement clos, alors $H^i_\ell(X) = 0$ pour $i > 2d$ ;
(théorème de finitude) pour toute variété $X$ et tout $i \in \N$, $H^i_\ell(X)$ est un $\Q_\ell$-espace vectoriel de dimension finie ;
(formule des traces) pour toute variété $X$ et tout endomorphisme $f$ de $X$, le nombre de points fixes de $f$ comptés avec multiplicités s'exprime sous la forme
$$ \Sum{i \in \N}{} (-1)^i \Tr(f| H^i_\ell(X)) $$
(théorème de comparaison) si $X$ est une variété complexe, alors sa cohomologie $\ell$-adique $H^i_\ell(X)$ est isomorphe à sa cohomologie singulière à coefficients dans $\Q_\ell$ ;
(théorème de réduction) si $X$ est bonne réduction de $Y$, alors leurs cohomologies sont isomorphes.
(dualité) si $X$ est une variété projective sur un corps algébriquement clos et $d$ sa dimension, alors $H^{2d}_\ell(X) \simeq \Q_\ell$ et pour tout $i \in \llbracket 0 ; d \rrbracket$ on a une application naturelle de dualité $H^i_\ell(X) \times H^{2d-i}_\ell(X) \to H^{2d}_\ell(X)$. De plus, si $X$ est définie sur un corps fini, cette dualité est compatible avec les endomorphismes induits par le Frobenius.

En pratique cependant on démontrera certains axiomes sous des formes plus faibles mais suffisantes pour l'application aux conjectures de Weil (par exemple, le théorème de finitude ne sera prouvé que pour des variétés projectives).

On va donner dans cette partie des esquisses de preuves plus ou moins détaillées de l'ensemble de ces résultats - globalement, de moins en moins détaillées au fur et à mesure des sections, le temps ayant joué. Chaque section correspond à un axiome, et l'ordre des sections correspond à celui donné ci-dessus, mis à part pour la formule des traces qui est repoussée dans la dernière section car sa preuve repose de façon cruciale sur le formalisme de dualité.

On utilisera sans preuve, et parfois sans le signaler, des résultats de base sur la cohomologie étale qui demanderaient démonstration mais que l'on considèrent ici comme acquis, notamment :

le fait que les foncteurs dérivés du poussé en avant par un morphisme fini sont nuls. En particulier, c'est le cas pour une immersion fermée, et on identifiera ainsi la cohomologie sur un espace $X$ d'un faisceau qui est supporté dans un fermé $F$ à sa cohomologie sur ce fermé ;
le lien entre le premier groupe de cohomologie $\ell$-adique et le groupe fondamental étale : $H_\ell^1(X) = \Hom(\pi_{ét}^1(X), \Q_\ell)$. On admettra aussi tous les résultats sur le groupe fondamental étale dont on a besoin, notamment la comparaison avec le groupe fondamental topologique pour une variété complexe, ou encore la présentation du groupe fondamental topologique d'une courbe lisse avec générateurs et relation ;
le calcul de la cohomologie étale d'une courbe propre, lisse et connexe sur un corps algébriquement clos ;
l'équivalence entre cohomologie étale et cohomologie galoisienne pour le spectre d'un corps.

On admettra également au fur et à mesure des sections certains théorèmes que l'on utilisera, notamment le théorème de Tsen pour lequel on donne une référence pour la démonstration, mais surtout divers résultats sur la cohomologie étale dont on a malheureusement pas eu le temps de se pencher en détails sur la preuve : cela inclut les deux théorèmes de changement de base pour la cohomologie étale (pour un morphisme propre, par un morphisme lisse), le théorème d'acyclicité locale pour les morphismes lisses et le théorème de spécialisation qui s'en déduit, la formule de Künneth.

Pour une meilleure lisibilité, on a systématiquement enroulé les preuves des lemmes apparaissant au milieu des démonstrations des théorèmes principaux. On met ainsi en avant la réflexion principale, en laissant au lecteur le loisir de dérouler les preuves de ces lemmes intermédiaires quand il le souhaite.

II.1. Théorème d'annulation

Cette première section est consacrée à la preuve du théorème d'annulation suivant :

Théorème - d'annulation (SGA4 X 4.3) (Michael Artin, 1963)

Soit $X$ une variété sur un corps $k$ algébriquement clos. Alors $H_\ell^i(X) = 0$ pour $i > 2 \dim(X)$.

De façon équivalente, cela revient à montrer que pour tout $n \in \N^*$ et pour tout $i > 2 \dim(X)$, on a
$$ H_{ét}^i(X, \Z / \ell^n \Z) = 0 $$ Pour prouver ce résultat, on considère $K$ le corps des fonctions rationnelles de $X$ et $i : \Spec(K) \to X$ l'inclusion. Comme tout ouvert non vide de $X$ contient le point générique, on a $ \Z / \ell^n \Z = i_* \Z / \ell^n \Z $ et on peut écrire la suite spectrale de Leray :
$$ E_2^{p,q} = H_{ét}^p(X, R_{ét}^q i_*(\Z / \ell^n \Z) ) \implies H_{ét}^{p+q}(\Spec(K), \Z / \ell^n \Z) $$ Cette suite spectrale va permettre de ramener l'annulation de la cohomologie étale de $X$ sur les faisceaux constants à

l'annulation de la cohomologie étale (ou de façon équivalente, la cohomologie de Galois) de $\Spec(K)$ sur ces mêmes faisceaux constants, ce qui se démontre de façon relativement élémentaire à partir du théorème dit de Tsen ;
l'annulation de la cohomologie étale des poussés en avant dérivés $R_{ét}^q i_*(\Z / \ell^n \Z)$, qui, on le verra, sont supportés sur une sous-variété de dimension strictement inférieure, ce qui sous-entend la possibilité de raisonner par récurrence sur la dimension.

Or pour faire fonctionner la récurrence sur la dimension, on doit étendre l'énoncé de la récurrence à une classe de faisceaux plus grande que seulement les faisceaux de la forme $\Z / \ell^n \Z$, puisque les poussés en avant dérivés qui apparaissent n'ont pas de raison d'être constants. Ils sont cependant toujours de torsion, comme cela est justifié par le lemme suivant :

Lemme

Soit $f : X \to Y$ un morphisme de schémas et $\Fc$ un faisceau étale sur $X$ qui est annulé par la multiplication par un certain entier $n \in \N^*$. Alors pour tout $i \in \N$, $R_{ét}^i f_* (\Fc)$ est aussi annulé par la multiplication par $n$.

Le lemme résulte facilement de la fonctorialité de la cohomologie.

Mais il y a encore un problème technique qui empêche la démonstration par récurrence de fonctionner telle quelle : pour un faisceau constant, le point de départ était d'écrire $\Z / \ell^n \Z = i_* \Z / \ell^n \Z = i_* i^* \Z / \ell^n \Z$ où $i$ est l'inclusion du point générique. Or si maintenant $\Fc$ est un faisceau de torsion quelconque, on a pas en général l'égalité $\Fc = i_* i^* \Fc$, on peut seulement écrire une suite exacte
$$ 0 \to ker \to \Fc \to i_* i^* \Fc \to coker \to 0 $$ où $ker$ et $coker$ sont les faisceaux noyau et conoyau respectivement, et donc par définition les tiges en le point générique sont nuls. Pour pouvoir faire fonctionner l'argument par récurrence, il faudrait que cela implique que $ker$ et $coker$ sont nuls sur un voisinage ouvert du point générique, et donc supportés sur un fermé de dimension strictement inférieure. Mais cela n'est pas vrai en général.

Pour remédier à ce problème, Grothendieck a introduit une nouvelle classe de faisceaux : les faisceaux constructibles. C'est cette notion que l'on va présenter ici avant de pouvoir enfin s'attaquer à la démonstration du théorème d'annulation. Pour plus de simplicité, on se place à partir de maintenant dans le cadre des schémas noethériens. Dans le cas général, qui ne nous intéresse pas ici, les définitions données ne sont pas correctes.

Définition - Partie constructible (EGA3 9.1.7), Faisceau constructible (SGA4 IX 2.3)

Soit $X$ un site noethérien. Une sous-partie de $X$ est dite constructible si elle peut s'écrire comme réunion finie de parties localement fermées.

Soit maintenant $X$ un schéma noethérien. Un faisceau étale $\Fc$ sur $X$ est dit constructible s'il existe un recouvrement de $X$ par des sous-schémas constructibles $U_i$ tels que pour tout $i$, le faisceau induit par $\Fc$ sur $U_i$ est le faisceau localement constant associé à un groupe abélien fini.

Le résultat que l'on souhaite se déduit du lemme suivant :

Lemme - (SGA4 IX 2.4 iv) (Alexandre Grothendieck, 1963)

Soit $X$ un schéma noethérien et $\Fc$ un faisceau constructible sur $X$. Alors l'ensemble $T$ des points où la tige de $\Fc$ est non nulle est une partie constructible.

En effet, si l'on a un faisceau constructible $\Fc$ dont la fibre en le point générique $\eta$ est nulle, alors par le lemme le support de $\Fc$ est une union finie de parties de la forme $U_i \cap F_i$ avec $U_i$ ouvert que l'on peut supposer non vide, $F_i$ fermé. Pour chaque $i$, $\eta$ n'appartient pas au support de $\Fc$, donc n'appartient pas à $U_i \cap F_i$, mais par ailleurs il appartient à $U_i$ (c'est le cas pour tout ouvert non vide), d'où finalement $\eta \notin F_i$. C'est ce qu'on voulait : le support de $\Fc$ est donc contenu dans l'union finie des sous-schémas fermés $F_i$ de dimension strictement inférieure.

Il convient de préciser qu'il ne s'agit pas ici de remplacer, dans l'énoncé que l'on veut démontrer par récurrence, la classe des faisceaux de torsion par celle des faisceaux constructibles, pour la simple raison qu'il n'est pas clair à priori que l'image par un poussé en avant dérivé d'un faisceau constructible reste constructible. C'est vrai sous l'hypothèse que le morphisme considéré est propre - on le verra dans le cas projectif à la section suivante, mais c'est un théorème difficile, et qui ne nous est pas nécessaire ici. En effet, les deux lemmes suivants nous disent qu'une fois l'annulation de la cohomologie acquise pour les faisceaux constructibles, le résultat est aussi vrai pour tout faisceau de torsion :

Lemme - (SGA4 IX 2.9) (Alexandre Grothendieck, 1963)

Soit $X$ un schéma noethérien et $\Fc$ un faisceau de torsion sur $X$. Alors $\Fc$ s'écrit comme la limite directe de ses sous-faisceaux constructibles.

Lemme

Soit $X$ un site noethérien. Alors la cohomologie des faisceaux sur $X$ commute avec les limites directes.

Enfin, signalons que la classe des faisceaux constructibles possède de remarquables propriétés de stabilité, qui rend leur utilisation très maniable :

Proposition - (SGA4 IX 2.6 i, 2.4 iii, 2.14, 2.6 iii) (Alexandre Grothendieck, 1963)

On considère toujours un schéma noethérien.

Le noyau, le conoyau, l'image d'un morphisme entre faisceaux constructibles sont constructibles ;
Le tiré en arrière d'un faisceau constructible par un morphisme de schémas est constructible ;
Le poussé en avant d'un faisceau constructible par un morphisme de schémas, fini et de présentation finie, est constructible ;
Si l'on a une suite exacte $\Fc_1 \to \Fc_2 \to \Fc_3 \to \Fc_4 \to \Fc_5$ avec $\Fc_i$ constructible pour $i = 1, 2, 4, 5$, alors $\Fc_3$ est constructible ;
Si l'on a une suite spectrale convergente de faisceaux $E_r^{p,q} \implies E_{+\infty}^{p,q}$ avec, pour un $r$ fixé, $E_r^{p,q}$ constructible pour tous $p,q$, alors l'aboutissement de la suite spectrale est aussi constructible.

▼ Esquisse de preuve du théorème d'annulation

On démontre par récurrence sur $\dim(X)$ que pour tout faisceau étale $\Fc$ sur $X$ annulé par la multiplication par un entier, $H_{ét}^i(X, \Fc) = 0$ pour $i > 2 \dim(X)$.

Si $\dim(X) = 0$, c'est-à-dire si $X = \Spec(k)$, alors c'est vrai puisque la cohomologie étale correspond à la cohomologie de Galois et que $k$ étant algébriquement clos, son groupe de Galois est nul.

On suppose maintenant $\dim(X) > 0$, on note $\eta = \Spec(K)$ le point générique de $X$ et $i : \eta \to X$ l'inclusion. Comme tout faisceau de torsion est limite directe de faisceaux constructibles de torsion, et que la cohomologie commute à la limite directe, on peut supposer que $\Fc$ est constructible. On considère la suite exacte suivante :
$$ 0 \to ker \to \Fc \to i_* i^* \Fc \to coker \to 0 $$ La constructibilité de $\Fc$ implique la constructibilité des quatre faisceaux apparaissant. De plus, les tiges de $ker$ et $coker$ en le point générique étant nulles, cela implique qu'ils sont supportés sur un sous-schéma de dimension $< \dim(X)$. Par hypothèse de récurrence, on a donc
$$H_{ét}^i(X, ker) = H_{ét}^i(X, coker) = 0$$ pour $i > 2(\dim(X) - 1)$.
On peut couper la suite exacte ci-dessus en deux suites exactes courtes
$$ 0 \to ker \to \Fc \to im \to 0 $$ $$ 0 \to im \to i_* i^* \Fc \to coker \to 0 $$ qui donnent des suites exactes longues
$$ ... \to H_{ét}^i(X, ker) \to H_{ét}^i(X, \Fc) \to H_{ét}^i(X, im) \to H_{ét}^{i+1}(X, ker) \to ... $$ $$ ... \to H_{ét}^{i-1}(X, coker) \to H_{ét}^i(X, im) \to H_{ét}^i(X, i_* i^* \Fc) \to H_{ét}^i(X, coker) \to ... $$ L'annulation des cohomologies pour les faisceaux $ker$ et $coker$ permet de déduire les égalités
$$ H_{ét}^i(X, \Fc) = H_{ét}^i(X, im) = H_{ét}^i(X, i_* i^* \Fc) $$ pour $i \geqslant 2 \dim(X)$. L'intérêt de cette réécriture est de pouvoir écrire la suite spectrale de Leray
$$ H_{ét}^p(X, R_{ét}^q i_* \circ i^* \Fc) \implies H_{ét}^{p+q}(\eta, i^* \Fc) $$ La limite de la suite spectrale peut se voir comme la cohomologie de Galois d'un corps de degré de transcendance $\dim(X)$ au-dessus d'un corps algébriquement clos, dont l'annulation se démontre de façon relativement élémentaire :

Lemme (John Tate)

Soit $K$ une extension de $k$ de degré de transcendance $n$. Alors pour tout $\Gal(\overline{K}/K)$-module discret de torsion, sa cohomologie galoisienne est nulle en rang $> n$.

▼ Preuve

On justifie d'abord que si $K$ est une extension algébrique de $k(X_1, ..., X_n)$, et si le résultat est vrai pour $k(X_1, ..., X_n)$, alors il est aussi vrai pour $K$. Notons $G$ le groupe de Galois absolu de $k(X_1, ..., X_n)$ et $H$ celui de $K$. Alors $H$ est un sous-groupe fermé de $G$. Si $M$ est un $H$-module de torsion, alors le $G$-module induit $M'$ est aussi de torsion, et on a $H^i(H, M) = H^i(G, M')$ (lemme de Shapiro). Ainsi l'annulation de la cohomologie de $G$ implique celle de $H$.

Il suffit donc de prouver le lemme pour $K = k(X_1, ..., X_n)$, ce que l'on fait par récurrence sur $n$.
Si $n = 0$, le résultat est vrai puisque, $k$ étant algébriquement clos, son groupe de Galois absolu est nul.
Pour $n = 1$, c'est une conséquence du théorème de Tsen. Celui-ci est démontré pour $k(X)$ en une douzaine de lignes dans SGA4$\frac{1}{2}$ Arcata III 2.3, et on ne reprend pas la démonstration ici. Le fait que l'énoncé donné dans SGA4$\frac{1}{2}$ implique le résultat que l'on souhaité est l'objet de la section II 3.2 du livre Cohomologie galoisienne de Serre.

On suppose maintenant le résultat jusqu'au rang $n \geqslant 1$ et on veut en déduire le résultat au rang $n+1$. Pour simplifier on note $k' = k(X_1, ..., X_n)$. L'astuce pour contrôler la cohomologie du groupe $\Gal(\overline{K}/K)$ est de remarquer qu'on a les inclusions $K \subseteq \overline{k'}(X_{n+1}) \subseteq \overline{K}$, ce qui donne une suite exacte de groupes
$$ 0 \to \Gal(\overline{K}/\overline{k'}(X_{n+1})) \to \Gal(\overline{K}/K) \to \Gal(\overline{k'}(X_{n+1})/K) \to 0 $$ Dans cette suite exacte, on contrôle déjà la cohomologie des groupes apparaissant à gauche et à droite :

à gauche, le groupe de Galois apparaissant peut être vu comme le groupe de Galois absolu de $\overline{k'}(X_{n+1})$. Comme $\overline{k'}$ est algébriquement clos, cela correspond au cas $n=1$ de la récurrence mais en ayant changé le corps de base ;
à droite, le groupe de Galois apparaissant est en fait égal au groupe de Galois absolu de $k' = k(X_1, ..., X_n)$. En effet, $X_{n+1}$ est le seul élément de $\overline{k'}(X_{n+1})$ qui est transcendant sur $\overline{k'}$. Ainsi un automorphisme de $\overline{k'}(X_{n+1})$ fixe nécessairement $X_{n+1}$, et donc est déterminé uniquement par sa restriction à $\overline{k'}$. Par hypothèse de récurrence, la cohomologie de ce groupe s'annule en rang $> n$.

Sachant cela, la suite spectrale de Hochschild-Serre permet de conclure à l'annulation de la cohomologie galoisienne de $K$ en rang $> n+1$.

Sachant l'annulation de l'aboutissement de la suite spectrale en rang $> \dim(X)$, on affirme que pour conclure il suffit de prouver que $H_{ét}^p(X, R_{ét}^q i_* \circ i^* \Fc) = 0$ pour $q > 0$ et $p+q \geqslant 2 \dim(X)$. En effet, cela implique que sur la diagonale $p+q = i$, le seul terme non nul pour $i \geqslant 2 \dim(X)$ est celui placé en position $i,0$. Cette propriété va rester vraie aux pages suivantes de la suite spectrale, et de plus si $i > 2 \dim(X)$ le terme en $i, 0$ va rester constant égal à $H^i(X, i_* i^* \Fc)$, c'est-à-dire le terme dont on veut prouver l'annulation. Or puisque l'aboutissement de la suite spectrale est nul, on conclut bien $H^i(X, i_* i^* \Fc) = 0$ comme souhaité.

On est donc ramenés à prouver $H_{ét}^p(X, R_{ét}^q i_* \circ i^* \Fc) = 0$ pour $q > 0$ et $p+q \geqslant 2 \dim(X)$. On fixe l'entier $q > 0$. On va démontrer l'annulation de la cohomologie pour $p > 2(\dim(X) - q)$, ce qui est plus fort que les seuls cas $p > 2\dim(X) - q - 1$ qui nous sont nécessaires (strictement si $q > 1$). Pour démontrer cette annulation, on va utiliser l'hypothèse de récurrence. Il faut donc prouver que le faisceau $R_{ét}^q i_* \circ i^* \Fc$, ou tout du moins ses sous-faisceaux constructibles, sont supportés sur un sous-schéma fermé de dimension $\leqslant \dim(X)-q$. De façon équivalente, cela revient à prouver que la fibre de ce faisceau en un point étale de codimension $< q$ est nulle. Pour cela, on a le lemme suivant :

Lemme - (SGA4 XIII 5.2) (Alexandre Grothendieck, 1963)

Soit $f : X \to Y$ un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas, $\Fc$ un faisceau abélien sur $X$, $\ri$ l'anneau local pour la topologie étale d'un point étale $y$ de $Y$ (c'est-à-dire l'hensélisation stricte de l'anneau local pour la topologie de Zariski du point correspondant). On considère le diagramme de changement de base
\begin{CD} X \times_Y \ri @>p>> X \\ @VVV @VfVV \\ \ri @>>> Y \end{CD} Alors pour tout $i \in \N$, la fibre de $R_{ét}^i f_*$ en $y$ est $H_{ét}^i(X \times_Y \ri, p^* \Fc)$.

Dans le cas particulier qui nous intéresse, c'est-à-dire où $f = i$ est l'inclusion du point générique, alors le morphisme $X \times_Y \ri \to \ri$ est aussi l'inclusion du point générique, c'est-à-dire que $\eta \times_X \ri = \Spec(K')$ où $K'$ est le corps des fractions de l'hensélisation stricte de l'anneau local pour la topologie de Zariski, et on est ramené à nouveau à de la cohomologie galoisienne : si $x$ est un point étale de $X$,
$$ (R_{ét}^q i_*(i^* \Fc))_x = H_{ét}^q(\Spec(K'), i^* \Fc) = H^q(\Gal(\overline{K'}/K'), i^* \Fc) $$
Notons $r$ la codimension de $x$ dans $X$. $r$ est alors égal à la dimension de l'anneau local en $x$ pour la topologie de Zariski. Supposons que l'on ait une inclusion du corps résiduel $k(x)$ en $x$ dans l'anneau local en $x$ pour la topologie de Zariski. Alors le corps des fractions de cet anneau local est une extension du corps résiduel en $x$ de degré de transcendance $r$. En passant à l'hensélisation, on rajoute des éléments algébriques mais donc sans changer le degré de transcendance. En passant à l'hensélisation stricte, on impose en plus que le corps résiduel soit algébriquement clos. Ainsi sous l'hypothèse d'une inclusion faite plus haut, $K'$ est une extension de $\overline{k(x)}$ de degré de transcendance $r$, et on a donc $H^q(\Gal(\overline{K'}/K'), i^* \Fc) = 0$ si $q > r$ (par le premier lemme), ce qui est exactement le résultat souhaité. L'hypothèse d'une inclusion du corps résiduel dans l'anneau local n'est à priori pas toujours vérifiée ; elle l'est tout du moins pour un point fermé (dans ce cas, le corps résiduel est simplement le corps de base, puisque celui-ci est algébriquement clos), et un argument à partir du lemme de normalisation de Noether montre qu'on peut se ramener à ce cas-là, quitte à changer de corps de base (SGA4 X 3.3 i).

II.2. Théorème de finitude

Cette deuxième section est consacrée à la preuve du théorème de finitude suivant :

Théorème - de finitude (SGA4 XIV 1.2) (Michael Artin, 1963)

Soit $X$ une variété projective sur un corps $k$ algébriquement clos. Alors $H_\ell^i(X)$ est un $\Q_\ell$-espace vectoriel de dimension finie, pour tout $i \in \N$.

Le théorème que l'on cite dans SGA4 est à vrai dire plus faible que le résultat que l'on souhaite, puisqu'il montre seulement que pour tout $n \in \N^*$, $H_{ét}^i(X, \Z/\ell^n\Z)$ est constructible sur $\Spec(k)$, autrement dit est fini. Puisque d'autre part c'est un groupe abélien de $\ell^n$-torsion, il peut donc s'écrire
$$ H_{ét}^i(X, \Z/\ell^n\Z) = \Oplus{k=1}{c_n} \Z/\ell^{m_k(n)}\Z $$ pour des entiers $c_n \in \N$ et $ m_k(n) \in \llbracket 1 ; n \rrbracket $. Or pour conclure que la cohomologie $\ell$-adique est finiment engendrée, il faudrait encore justifier que $c_n$ peut être borné par un entier $c$ indépendamment de $n$. Dans ce cas, on peut permuter limite inverse et somme directe :
$$ \underset{n \to +\infty}{\lim} \ H_{ét}^i(X, \Z/\ell^n\Z) = \underset{n \to +\infty}{\lim} \ \Oplus{k=1}{c} \Z/\ell^{m_k(n)}\Z = \Oplus{k=1}{c} \underset{n \to +\infty}{\lim} \ \Z/\ell^{m_k(n)}\Z $$ et on en déduit bien que la cohomologie $\ell$-adique $H_\ell^i(X)$ est finiment engendrée.
Montrer que $c_n$ peut être borné indépendamment de $n$ n'est pas évident, il s'agit essentiellement de regarder la compatibilité de la cohomologie avec le produit tensoriel, mais on n'a pas à priori de relation comme
$$ H_{ét}^i(X, \Z/\ell\Z) = H_{ét}^i(X, \Z/\ell^n\Z) \otimes_{\Z/\ell^n\Z} \Z/\ell\Z $$ qui permettrait de conclure directement. Eberhard Freitag et Reinhardt Kiehl résolvent ce problème en considérant la résolution de Godemont, pour laquelle la comptabilité au produit tensoriel est facile, et après des pages de raisonnement parviennent à borner $c_n$ à partir de ce fait. Comme on le justifie ci-dessous, on peut aussi borner $c_n$ comme corollaire de la formule de Künneth, celle-ci permettant d'avoir une comptabilité avec le produit tensoriel quitte à travailler aussi sur le produit $X \times X$.

Théorème - Formule de Künneth (SGA4$\frac{1}{2}$ Finitude 1.11) (Alexandre Grothendieck, 1963)

Soient $X$ et $Y$ deux variétés sur un corps $k$ algébriquement clos, $n \in \N^*$, $\Fc$ et $\mathscr{G}$ deux faisceaux de $\Z/n\Z$-modules sur $X$ et $Y$ respectivement. On considère les deux projections $p_1 : X \times_k Y \to X$ et $p_2 : X \times_k Y \to Y$. Alors
$$ H_{ét}^*(X \times_k Y, \ p_1^* \Fc \otimes_{\Z/n\Z} p_2^* \mathscr{G}) \simeq H_{ét}^*(X, \Fc) \otimes_{\Z/n\Z} H_{ét}^*(Y, \mathscr{G}) $$

Corollaire

Soit $X$ une variété projective sur un corps $k$ algébriquement clos. On suppose que $H_{ét}^i(Y, \Z/\ell^n\Z)$ est fini pour toute $k$-variété projective $Y$, et pour tous $i \in \N, n \in \N^*$. Alors $H_\ell^i(X)$ est un $\Q_\ell$-espace vectoriel de dimension finie, pour tout $i \in \N$.

▼ Preuve

On reprend les notations précédentes :
$$ H_{ét}^i(X, \Z/\ell^n\Z) = \Oplus{k=1}{c_n} \Z/\ell^{m_k(n)}\Z $$ Comme on l'a remarqué plus haut, il suffit pour conclure de borner $c_n$ indépendamment de $n$. Pour cela, on applique la formule de Künneth avec $Y = X$ et les $\Z/\ell^n\Z$-modules $\Z/\ell\Z$ et $\Z/\ell^n\Z$. Elle s'écrit :
\begin{align*} H_{ét}^i(X \times_k X, \ \Z/\ell\Z) &= H_{ét}^i(X \times_k X, \ \Z/\ell\Z \otimes_{\Z/\ell^n\Z} \Z/\ell^n\Z) \\ &= H_{ét}^i(X \times_k X, \ p_1^* \Z/\ell\Z \otimes_{\Z/\ell^n\Z} p_2^* \Z/\ell^n\Z) \\ &\simeq \Oplus{j=0}{i} H^j(X, \Z/\ell\Z) \otimes_{\Z/\ell^n\Z} H^{i-j}(X, \Z/\ell^n\Z) \end{align*} Le seul terme qui nous intéresse dans la somme est celui pour $j = 0$, qui est :
$$ H^0(X, \Z/\ell\Z) \otimes_{\Z/\ell^n\Z} H^i(X, \Z/\ell^n\Z) \simeq \Z/\ell\Z \otimes_{\Z/\ell^n\Z} \Oplus{k=1}{c_n} \Z/\ell^{m_k(n)}\Z \simeq (\Z/\ell\Z)^{c_n} $$ Ainsi pour conclure il suffit de borner le cardinal de ce terme indépendamment de $n$. Celui-ci s'injecte dans $H_{ét}^i(X \times_k X, \ \Z/\ell\Z)$, qui ne dépend pas de $n$, donc il nous suffit encore de justifier que ce groupe de cohomologie est fini. Par hypothèse, c'est vrai à condition que $X \times_k X$ est projectif. $X$ l'étant, $X \times_k X$ l'est aussi, comme on le montre à partir du morphisme de Segre.

Ainsi par la suite on ne travaille qu'avec la cohomologie étale, et il nous suffit de prouver que la cohomologie étale d'une variété projective en le faisceau constant $\Z/\ell^n\Z$ est fini - ou constructible, c'est équivalent pour un faisceau sur $\Spec(k)$, $k$ algébriquement clos. C'est l'objet de la démonstration qui va suivre, mais il nous faut d'abord énoncer le théorème de changement de base pour un morphisme propre. En effet, un lemme apparaissant dans la preuve repose sur ce résultat. Comme on l'a annoncé, on admet ce théorème de changement de base, dont la preuve est longue et technique.

Théorème - de changement de base pour un morphisme propre (SGA4 XII 5.1) (Michael Artin, 1963)

On considère un diagramme commutatif de morphismes de schémas de la forme
\begin{CD} X \times_S S' @>g'>> X \\ @Vf'VV @VfVV \\ S' @>g>> S \end{CD} et on suppose $f$ propre. Alors pour tout $i \in \N$ et pour tout faisceau étale de torsion $\Fc$ sur $X$,
$$ g^* \circ R_{ét}^i f_* (\Fc) \simeq R_{ét}^i f'_* \circ g'^*(\Fc) $$

L'intérêt principal de ce théorème est de montrer que la cohomologie relative d'un morphisme propre met en famille les cohomologies des fibres. Plus précisément, si l'on prend dans le théorème $S'$ égal à un point étale de $S$, alors le résultat dit que la fibre de $R_{ét}^i f_*$ en ce point est égal à la cohomologie de la fibre étale. C'est sous cette forme qu'il nous servira dans la preuve qui suit.

▼ Esquisse de preuve du théorème de finitude

Comme pour la démonstration du théorème d'annulation, on va vouloir travailler par récurrence sur la dimension (relative ici, on va voir pourquoi) et on va devoir généraliser l'énoncé à la classe plus générale des faisceaux constructibles pour que la récurrence fonctionne. La première remarque que l'on peut faire est que, comme $X$ est par hypothèse une sous-variété fermée d'un espace projectif, est que le poussé en avant d'un faisceau constructible par une immersion fermée est constructible, on peut se restreindre au cas où $X$ est égal à l'espace projectif $\P_k^d$ pour un $d \in \N^*$.
L'étape de récurrence est basée sur la construction suivante : on a une immersion fermée $Z = \P_k^{d-2} \to \P_k^d$ qui consiste simplement à rajouter deux coordonnées homogènes égales à zéro. Alors l'éclatement de $X$ par $Z$ définit un morphisme $\pi : X' \to X$ qui est un isomorphisme sur $X \backslash Z$. Le morphisme $X \backslash Z \to \P_k^1$ obtenu en conservant seulement les deux dernières coordonnées homogènes s'étend à $X'$, et permet de montrer que $X' \simeq \P_{\P_k^1}^{d-1}$.
\begin{CD} Z = \P_k^{d-2} @>i>> X = \P_k^d @<\pi<< X' = \P_{\P_k^1}^{d-1} \\ @Vf|_ZVV @VfVV @VgVV \\ \Spec(k) @= \Spec(k) @<h<< \P_k^1 \end{CD} Ainsi l'étude de $f$ se ramène à sa restriction à $Z$ et à $X \backslash Z$. Sur $Z$, la restriction de $f$ est de la forme $\P_k^{d-2} \to \Spec(k)$. Sur $X \backslash Z$, comme $\pi$ est un isomorphisme, on est encore ramenés à étudier $g$ et $h$. Et donc, l'étude de $f$ se ramène à l'étude de trois morphismes de la forme $\P_S^r \to S$ pour une certaine variété $S$ et $r < d$. C'est cela qui va permettre de raisonner par récurrence.

On doit donc démontrer par récurrence sur $d$ l'énoncé suivant : pour toute $k$-variété $S$, pour tout faisceau constructible $\Fc$ sur $\P_S^d$, et pour tout $i \in \N$, si $f$ désigne le morphisme structural $f : \P_S^d \to S$, alors $R_{ét}^i f_* (\Fc)$ est un faisceau constructible sur $S$.

On commence par expliquer en détails l'étape de récurrence ; dans un deuxième temps on se consacrera à l'initialisation, c'est-à-dire le cas $d = 1$. On a donc $d \geqslant 2$, et $S$, $\Fc$, $i$ sont fixés. On considère le diagramme présenté ci-dessus mais après changement de base de $k$ à $S$
\begin{CD} Z = \P_S^{d-2} @>i>> X = \P_S^d @<\pi<< X' = \P_{\P_S^1}^{d-1} \\ @Vf|_ZVV @VfVV @VgVV \\ S @= S @<h<< \P_S^1 \end{CD} On note $j : X \backslash Z \to X$ l'inclusion. On a alors la suite exacte courte suivante :
$$ 0 \to j_! j^*(\Fc) \to \Fc \to i_* i^*(\Fc) \to 0 $$ d'où une suite exacte longue :
$$ ... \to R_{ét}^{i-1} f_* \circ i_* i^*(\Fc) \to R_{ét}^i f_* \circ j_! j^* (\Fc) \to R_{ét}^i f_* (\Fc) \to R_{ét}^i f_* \circ i_* i^* (\Fc) \to R_{ét}^{i+1} f_* \circ j_! j^*(\Fc) \to ... $$ Si l'on démontre la constructibilité des quatre termes non centraux, alors celle du terme central, qui est celui que l'on souhaite étudier, en découlera.

Comme une immersion fermée n'admet pas de cohomologie relative, on peut écrire pour tout $k \in \N$
$$ R_{ét}^k f_* \circ i_* i^* (\Fc) = R_{ét}^k (f \circ i)_* (i^* \Fc) $$ $i^* \Fc$ est un faisceau constructible sur $Z = \P_S^{d-2}$ et l'hypothèse de récurrence au rang $d-2$ implique que ses poussés en avant dérivés sont également constructibles. Cela donne deux des quatre termes.

Pour les deux termes restants, il faut d'abord jouer avec le diagramme commutatif suivant :
\begin{CD} U @<\pi_{U'}<\sim< U' \\ @VjVV @Vj'VV \\ X @<\pi<< X' \end{CD}

Lemme

Avec les notations précédentes, $j_! j^* \Fc = \pi_* j'_! j'^* \pi^*(\Fc)$ et $R_{ét}^q \pi_*(j'_! j'^* \pi^* \Fc) = 0$ pour tout $q \in \N^*$.

▼ Preuve

La première égalité se vérifie directement : pour tout ouvert $V$ de $X$, on a avant faisceautisation
$$ j_! j^* \Fc(V) = \left | \begin{array}{ll} 0 & \text{ si } V \nsubseteq U \\ \Fc(V) & \text{ si } V \subseteq U \end{array} \right . $$ ainsi que
$$ \pi_* j'_! j'^* \pi^* \Fc(V) = j'_! j'^* \pi^* \Fc(\pi^{-1}(V)) = \left | \begin{array}{ll} 0 & \text{ si } \pi^(V) \nsubseteq U' \\ \pi^* \Fc(\pi^{-1}(V)) & \text{ si } \pi^{-1}(V) \subseteq U' \end{array} \right . $$ Or, comme $\pi$ est un isomorphisme sur $U' = \pi^{-1}(U)$, on a $\pi^{-1}(V) \subseteq U'$ si et seulement si $V \subseteq U$, et dans ce cas $\pi^* \Fc(\pi^{-1}(V)) = \Fc(V)$. D'où l'égalité souhaitée.

Pour l'annulation des poussés en avant dérivés, on utilise le théorème de changement de base propre : si $x$ est un point étale de $X$, la fibre de $R_{ét}^q \pi_*(j'_! j'^* \pi^* \Fc)$ en $x$ est le $q$-ième groupe de cohomologie de la fibre de $\pi$ au-dessus de $x$, pour le faisceau induit. On distingue alors deux cas :

si $x \in U$, alors la fibre au-dessus de $x$ est un seul point, et donc la cohomologie est nulle pour tout $q \in \N^*$ ;
si $x \notin U$, alors la fibre au-dessus de $x$ ne s'intersecte pas avec $U'$, et comme le faisceau considéré est obtenu en appliquant $j'_!$ à un faisceau sur $U'$, cela implique que le faisceau induit sur la fibre au-dessus de $x$ est le faisceau nul. Ainsi la cohomologie est nulle pour tout $q \in \N$.

Sachant le lemme, pour tout $k \in \N$ on peut écrire
$$ R_{ét}^k f_* \circ j_! j^*(\Fc) = R_{ét}^k f_* \circ \pi_* j'_! j'^* \pi^*(\Fc) = R_{ét}^k (f \circ \pi)_*(j'_! j'^* \pi^* \Fc) = R_{ét}^k (h \circ g)_* (j'_! j'^* \pi^* \Fc) $$ Le résultat va alors se déduire de la suite spectrale de Leray
$$ R_{ét}^p h_* \circ R_{ét}^q g_* (j'_! j'^* \pi^* \Fc) \implies R_{ét}^{p+q} (h \circ g)_* (j'_! j'^* \pi^* \Fc) $$ En effet, l'hypothèse de récurrence au rang $d-1$ avec le faisceau $j'_! j'^* \pi^* \Fc$ implique que $R_{ét}^q g_* (j'_! j'^* \pi^* \Fc)$ est constructible, puis l'hypothèse de récurrence au rang $1$ avec le faisceau $R_{ét}^q g_* (j'_! j'^* \pi^* \Fc)$ implique que $R_{ét}^p h_* \circ R_{ét}^q g_* (j'_! j'^* \pi^* \Fc)$ est constructible. Ainsi tous les termes de la suite spectrale sont constructibles, et cela implique que l'aboutissement est également constructible. D'où l'étape de récurrence.

Il reste enfin pour terminer à traiter l'initialisation, c'est-à-dire le cas $d=1$. On se fixe $S$ une $k$-variété et $\Fc$ un faisceau constructible sur $\P_S^1$. Comme on travaille avec la classe des faisceaux constructibles, on se ramène au cas des faisceaux constants grâce au lemme suivant :

Lemme - (SGA4 IX 2.14 ii) (Alexandre Grothendieck, 1963)

Soit $X$ quasi-compact et quasi-séparé, et $\Fc$ un faisceau constructible sur $X$. Alors il existe une famille finie de morphismes finis $f_i : X_i \to X$, avec pour chaque $i$ un faisceau constant $C_i$ associé à un groupe abélien fini, tel que $\Fc$ s'injecte dans $ \Oplus{i}{} f_{i*}(C_i) $.

En appliquant cela à $X = \P_S^1$, et comme la cohomologie relative des morphismes finis s'annule en degrés $> 0$, on est ramené à étudier la cohomologie relative $R_{ét} (f \circ f_i)_*(C_i)$. Ainsi, quitte à remplacer $X$ par $X_i$, $f$ par $f \circ f_i$, et utilisant le théorème de structure des groupes abéliens finis, on doit prouver que si $f : X \to S$ est un morphisme propre de dimension relative $1$, alors pour tout $n \in \N^*$ premier à la caractéristique du corps résiduel et pour tout $i \in \N$, le faisceau $R_{ét}^i f_* (\Z / n\Z)$ est constructible. Un argument que l'on ne détaillera pas permet de supposer de plus que $f$ est lisse, à fibres connexes. Dans ce cas, on a la description exacte suivante de la cohomologie :
\begin{align*} R_{ét}^0 f_* (\Z / n\Z) &\simeq \Z / n\Z \\ R_{ét}^1 f_* (\Z / n\Z) &\simeq \ker([n] : \Pic^0(X/S) \to \Pic^0(X/S)) \\ R_{ét}^2 f_* (\Z / n\Z) &\simeq \Z / n\Z \end{align*} et l'annulation en degrés $> 2$ qui a été démontrée dans le paragraphe précédent. Sachant la représentabilité du schéma de Picard, des résultats généraux sur les schémas abéliens permettent de conclure.

II.3. Théorème de comparaison

Cette troisième section est consacrée à la preuve du théorème de comparaison suivant :

Théorème - de comparaison (SGA4 XVI 4.1) (Michael Artin, 1963)

Soit $X$ une variété projective sur $\C$. Alors pour tout $i \in \N$, la cohomologie $\ell$-adique $H_\ell^i(X)$ est naturellement isomorphe à la cohomologie des faisceaux $H^i(X(\C), \Q_\ell)$ où $X(\C)$ est muni de sa topologie usuelle.

▼ Esquisse de preuve du théorème de comparaison

La preuve du théorème de comparaison est basée sur le même principe que celle du théorème de finitude du paragraphe précédent, aussi on ne la donne qu'avec des détails minimes. Le résultat plus général que l'on va montrer, et qui va permettre de se ramener à l'espace projectif puis de travailler par récurrence, est le suivant : pour tout faisceau constructible $\Fc$ et pour tout $i \in \N$, la cohomologie étale $H_{ét}^i(X, \Fc)$ est isomorphisme à la cohomologie des faisceaux $H^i(X(\C), \Fc)$. Si l'on veut être tout à fait précis, ce n'est pas la cohomologie des faisceaux pour $\Fc$ mais pour le faisceau induit de la façon suivante : on le tire en arrière par le morphisme naturel du site des isomorphismes locaux sur $X(\C)$ vers le site étale de $X$ (le fait que ce morphisme est bien défini résulte du théorème d'inversion locale), et on remarque ensuite que le site des isomorphismes locaux sur $X(\C)$ est équivalent au site pour la topologie usuelle sur $X(\C)$ (par définition, un isomorphisme local peut localement être vu comme la factorisation d'un ouvert usuel). Comme dit, le fait de travailler avec des faisceaux constructibles permet de se ramener au cas $X = \P_\C^d$ et on travaille ensuite par récurrence sur $d$.

L'étape de récurrence suit de très près celle du théorème de finitude du paragraphe précédent, et on ne redonnera pas tous les détails. On utilise le même diagramme
\begin{CD} Z = \P_\C^{d-2} @>i>> X = \P_\C^d @<\pi<< X' = \P_{\P_\C^1}^{d-1} \\ @Vf|_ZVV @VfVV @VgVV \\ \Spec(\C) @= \Spec(\C) @<h<< \P_\C^1 \end{CD} pour ramener l'étude de la cohomologie de $\P_\C^d$ à coefficients dans $\Fc$ à celle :

de $\P_\C^{d-2}$ à coefficients dans $i^* \Fc$ ;
relative de $\P_{\P_\C^1}^{d-1} \to \P_\C^1$ à coefficients dans $ j'_! j'^* \pi^* \Fc $, où $j'$ est l'inclusion de $\pi^{-1}(X \backslash Z)$ dans $X'$ ;
de $\P_\C^1$ à coefficients dans les images dérivées de $ j'_! j'^* \pi^* \Fc $ par le morphisme $\P_{\P_\C^1}^{d-1} \to \P_\C^1$.

Les calculs effectués pour se ramener à ces cohomologies sont valables aussi bien dans le contexte étale que dans le contexte complexe, et il suffit donc de justifier que l'hypothèse de récurrence implique l'égalité souhaitée entre cohomologie étale et complexe dans les trois cas ci-dessus. Le premier cas découle de l'hypothèse de récurrence au rang $d-2$ ; le deuxième cas peut se vérifier fibre par fibre par le théorème de changement de base propre, et découle alors de l'hypothèse de récurrence au rang $d-1$ ; enfin le troisième cas découle de l'hypothèse de récurrence au rang $1$ et du fait que les poussés en avant dérivés d'un faisceau constructible par un morphisme projectif sont toujours constructibles, ce que l'on a prouvé dans la section précédente.

Il reste à traiter l'initialisation. Comme dans le théorème précédent, on se ramène au cas où $X$ est une courbe propre, lisse et connexe sur $\C$. Dans ce cas, dans le contexte étale comme dans le contexte complexe, on a annulation de la cohomologie en degrés $> 2$, tandis que les groupes de cohomologie à coefficients dans $\Z/n\Z$ en degrés $0$ et $2$ sont isomorphes à $\Z/n\Z$. Le seul point délicat est la comparaison du premier groupe de cohomologie : cette comparaison se ramène à celle des groupes fondamentaux étale et topologique. On a la relation
$$ H_{ét}^1(X, \Z/n\Z) \simeq \Hom_{\Grp}(\pi^{ét}_1(X), \Z / n\Z) $$ et la relation correspondante en topologie - qui découle du théorème d'Hurewicz :
$$ H^1(X(\C), \Z/n\Z) \simeq \Hom_{\Grp}(\pi_1(X(\C)), \Z/n\Z) $$ Maintenant le théorème de comparaison entre les groupes fondamentaux dit que $\pi^{ét}_1(X)$ est le complété profini de $\pi_1(X(\C))$ - cela découle facilement de l'équivalence de catégories entre les revêtements étales de $X$ et les revêtements topologiques finis de $X(\C)$, mais cette équivalence de catégories est difficile et admise ici. Ainsi on est ramené à prouver que les morphismes de groupes de $\pi_1(X(\C))$ et de son complété profini vers $\Z/n\Z$ sont en bijection. Ce n'est pas vrai à priori pour un groupe général, mais on peut conclure grâce à la description explicite du groupe fondamental topologique d'une telle courbe en fonction de $2g$ générateurs ($g$ étant le genre de $X$) dont le produit des commutateurs est trivial.

II.4. Théorème de réduction

Dans cette quatrième section, on ne fait qu'énoncer le théorème de réduction que l'on souhaite obtenir, et montrer comment celui-ci découle d'un théorème général sur la cohomologie étale. La preuve de ce-dernier n'est pas considérée, tant elle serait longue et nécessiterait de développer des notions que l'on a pas abordées.

Théorème - de réduction

On considère :

$K$ un corps de nombres ;
$\ri_K$ son anneau des entiers ;
$U$ un ouvert non vide de $\Spec(\ri_K)$ ;
$X$ une variété propre et lisse sur $U$ ;
$\p$ un premier de $U$ dont la caractéristique résiduelle est différente de $\ell$ ;
$X_\C$ la variété complexe obtenue en prenant la fibre de $X$ au-dessus du point générique de $U$, puis en réalisant le changement de base de $\Q$ à $\C$ ;
$\overline{X_\p}$ la variété sur la clôture algébrique du corps résiduel en $\p$ obtenue en prenant la fibre de $X$ au-dessus de $\p$, puis en réalisant le changement de base à la clôture algébrique.

Alors pour tout $i \in \N$, on a
$$ H_\ell^i(\overline{X_\p}) \simeq H_\ell^i(X_\C) $$ En particulier, combiné au théorème de comparaison, on obtient
$$ H_\ell^i(\overline{X_\p}) \simeq H^i(X_\C(\C), \Q_\ell) $$

Le théorème permettant de démontrer ce résultat est le suivant :

Théorème - de spécialisation (SGA4 XVI 2.2) (Michael Artin, 1963)

Soit $f : X \to Y$ un morphisme propre et lisse de schémas, $\Fc$ un faisceau étale constructible et localement constant sur $X$, dont la torsion est première aux caractéristique résiduelles de $Y$. Alors pour tout $i \in \N$, $R_{ét}^i f_* (\Fc)$ est constructible, localement constant, et pour tout point étale $y$ de $Y$, la fibre de ce faisceau en $y$ est $H_{ét}^i(X_y, \Fc_y)$.

On notera quand dans le théorème précédent, on a déjà montré que les faisceaux poussés en avant dérivés sont constructibles (tout du moins si le morphisme est projectif, le cas général s'y ramenant par le lemme de Chow), et le calcul des fibres est simplement le théorème de changement de base pour un morphisme propre. Le seul résultat nouveau est le fait que le faisceau est localement constant, résultat difficile et qui utilise que le morphisme est lisse.

Considérons donc la preuve du théorème de réduction :

▼ Preuve du théorème de réduction

Notons $\eta$ le point générique de $U$, $X_\eta$ la fibre de $X$ au-dessus de $\eta$, $\overline{X_\eta}$ son changement de base à la clôture algébrique $\overline{K}$. Le théorème de réduction que l'on a énoncé est essentiellement un corollaire du théorème de spécialisation, en le sens que $\Spec(\overline{K})$ et $\Spec(\overline{k(\p)})$ sont deux points étales de $U$, et que le théorème de spécialisation appliqué au morphisme structural $f : X \to U$ donnerait (comme on va le justifier) l'égalité
$$ H_\ell^i(\overline{X_\eta}) \simeq H_\ell^i(\overline{X_\p}) $$ Il y a cependant un léger problème technique : le théorème de spécialisation ne s'applique pas à priori avec $f$ et un faisceau localement constant $\Z / \ell^n \Z$ pour un certain $n \in \N$, puisqu'il n'est pas exclu que $\ell$ soit une caractéristique résiduelle de $U$. Pour palier à ce problème, on considère plutôt le changement de base $f' : X \times_U \Spec(\ri_{U, \p}) \to \Spec(\ri_{U, \p})$ de $f$ à l'anneau local de $U$ en $\p$. Les seules caractéristiques résiduelles de $\Spec(\ri_{U, \p})$ sont zéro et la caractéristique résiduelle de $\p$, qui par hypothèse est différente de $\ell$. Ainsi le théorème de spécialisation peut être appliqué à $f'$, et donne que $R_{ét}^i f'_* (\Z / \ell^n \Z)$ est constructible, localement constant, de fibre en un point étale au-dessus du point générique $H_{ét}^i(\overline{X_\eta}, \Z / \ell^n \Z)$, et de fibre en un point étale au-dessus de $\p$ $H_{ét}^i(\overline{X_\p}, \Z / \ell^n \Z)$.
Maintenant $R_{ét}^i f'_* (\Z / \ell^n \Z)$ étant localement constant, ses fibres sont égales sur un voisinage ouvert de $\p$. Le seul voisinage ouvert de $\p$ étant $\Spec(\ri_{U, \p})$ tout entier, on en déduit l'égalité souhaitée :
$$ H_{ét}^i(\overline{X_\eta}, \Z / \ell^n \Z) = H_{ét}^i(\overline{X_\p}, \Z / \ell^n \Z) $$ Pour obtenir la conclusion exacte du théorème de réduction, il reste encore à remplacer $\overline{X_\eta}$ par $X_\C$. C'est une application du théorème de changement de base propre, pour le diagramme
\begin{CD} X_\C @>>> \overline{X_\eta} \\ @VVV @VVV \\ \Spec(\C) @>>> \Spec(\overline{K}) \end{CD} On déduit enfin le résultat en cohomologie $\ell$-adique en passant à la limite pour $n \to +\infty$.

II.5. Formule de dualité

Sous une forme générale, la dualité de Poincaré pour les variétés différentielles, dit que pour n'importe quelle variété, on a un isomorphisme entre la cohomologie en un degré donné et la cohomologie à support compact dans le degré complémentaire, c'est-à-dire dont la somme est égale à la dimension (réelle). Le formalisme de dualité en cohomologie étale est fondé sur le même principe, on veut donc :

construire un formalisme de cohomologie (relative) à support propre ;
construire l'application qui va induire la dualité ;
et enfin démontrer l'isomorphisme souhaité.

Chacune de ces étapes est délicate. Commençons par la première. Pour les variétés différentielles, on peut définir la cohomologie à support propre de la façon suivante : étant donné un morphisme $f : X \to Y$, on considère le poussé en avant propre $f_!$ défini pour tout faisceau $\Fc$ sur $X$ et tout ouvert $V \subseteq Y$ par
$$ f_!(\Fc)(V) = \{ \sigma \in \Fc(f^{-1}(V)) \ | \ f|_{\supp(\sigma)} : \supp(\sigma) \to Y \text{ est propre} \} $$ La cohomologie relative à support propre est alors définie comme le foncteur dérivé du poussé en avant propre $f_!$. Si $f$ est propre, alors $f_!$ coïncide avec le poussé en avant classique. Cette construction a toujours un sens en topologie étale, du moins sous des hypothèses raisonnables sur le morphisme $f$, mais le foncteur dérivé obtenu se comporte de façon pathologique (c.f. SGA4 XVII 6.1.6).
Pour palier ce problème, Grothendieck a donné une définition "artisanale" du poussé en avant propre dérivé qui donne la bonne cohomologie relative, en se ramenant au cas des morphismes propres et des immersions ouvertes. Concrètement, si $f$ admet une factorisation $f = g \circ j$ où $g$ est propre et $j$ une immersion ouverte, et $\Fc$ est un faisceau étale de torsion (et seulement dans ce cas !), alors on pose
$$ R_{ét!} f(\Fc) = R_{ét} g_* \circ j_!(\Fc) $$ La notation $R_{ét!} f$ n'est plus classique aujourd'hui, mais on l'utilisera pour ne pas confondre avec le foncteur dérivé du foncteur $f_!$. $j_!$ est le poussé en avant propre tel que défini ci-dessus, mais comme les notations le suggèrent il est aussi appelé extension par zéro et admet une autre définition :

Lemme

Si $j : U \to X$ est une immersion ouverte, le poussé en avant propre $j_!$ est égal à l'extension par zéro, c'est-à-dire que pour un faisceau $\Fc$, $j_!(\Fc)$ est la faisceautisation du préfaisceau
$$ V \mapsto \left | \begin{array}{ll} \ 0 & \text{ si } V \nsubseteq U \\ \ \Fc(V) & \text{ si } V \subseteq U \end{array} \right . $$

La description de $j_!$ comme extension par zéro permet de voir qu'il s'agit d'un foncteur exact, c'est ce qui explique qu'il n'est pas dérivé dans la formule définissant la cohomologie à support propre.

C'est un résultat difficile de prouver que cette vision impose une définition du poussé en avant propre dérivé pour une large classe de morphismes :

Théorème - de compactification de Nagata-Deligne (Masayoshi Nagata, 1963)

Soit $S$ un schéma quasi-compact et quasi-séparé, et $f : X \to S$ un morphisme séparé de type fini. Alors il existe une factorisation $f = g \circ j$ où $j$ est une immersion ouverte, et $g$ un morphisme propre.

Pour une preuve, on renvoie à Deligne's notes on Nagata compactifications, Brian Conrad, 2007, Théorème 4.1, https://math.stanford.edu/~conrad/papers/nagatafinal.pdf. C'est ce résultat qui impose que dans tous les autres énoncés de cette partie, on supposera toujours que la base est quasi-compacte quasi-séparée et que le morphisme est séparé de type fini. On se permet de noter cependant que les énoncés menant au théorème de dualité n'utilisent par directement ces hypothèses, mais seulement l'existence du formalisme de cohomologie à support propre ; aussi si l'on parvenait à trouver une définition alternative de la cohomologie à support propre, indépendante de cette propriété de factorisation par un morphisme propre, le théorème de dualité se généraliserait naturellement à des morphismes plus généraux.

On n'a pas encore justifié que la définition du foncteur $R_{ét!} f$ donnée précédemment est indépendante de la factorisation choisie. C'est pour cette indépendance que l'on a limité la définition de la cohomologie à support propre aux faisceaux de torsion. Supposons donc que l'on ait deux factorisations $f = g_1 \circ j_1 = g_2 \circ j_2$, et $\Fc$ un faisceau de torsion. Il s'agit de prouver que $R_{ét} g_{1*} \circ j_{1!}(\Fc) = R_{ét} g_{2*} \circ j_{2!}(\Fc)$. On note $X \overset{f}{\to} Y$ les espaces de départ et d'arrivée de $f$. Comme $\Fc$ est de torsion, le théorème de changement de base propre pour $g_1$ et $g_2$ permet de se ramener au cas où $Y = \Spec(k)$ est le spectre d'un corps algébriquement clos. On note aussi $X \overset{j_1}{\to} X_1$ et $X \overset{j_2}{\to} X_2$ les espaces d'arrivée de $j_1$, et $j_2$, et on considère le morphisme $j_3 = j_1 \times_k j_2 : X \to X_1 \times_k X_2$. La fermeture de l'image de $j_3$ définie un schéma propre $X_3$ sur $k$, et si l'on note $g_3$ son morphisme structural on a une troisième factorisation $f = g_3 \circ j_3$. L'avantage de cette troisième factorisation est que $j_3$ se factorise naturellement par $j_1$ et $j_2$ grâce aux projections $X_3 \overset{p_1}{\to} X_1$ et $X_3 \overset{p_2}{\to} X_2$.
\begin{CD} X @= X @= X \\ @Vj_1VV @Vj_3VV @Vj_2VV \\ X_1 @<p_1<< X_3 @>p_2>> X_2 \end{CD} Ainsi, au lieu de comparer directement la cohomologie de $X_1$, $H_{ét}^*(X_1, j_{1!} \Fc)$, et celle de $X_2$, $H_{ét}^*(X_2, j_{2!} \Fc)$, on va plutôt montrer que celle de $X_1$ est égale à celle de $X_3$, $H_{ét}^*(X_3, j_{3!} \Fc)$, et par symétrie de la situation on aura aussi l'égalité avec la cohomologie de $X_2$. Pour avoir égalité des cohomologies de $X_1$ et $X_3$, il suffit de prouver que $p_{1*} j_{3!} \Fc = j_{1!} \Fc$ et que $R_{ét}^q p_{1*}(j_{3!} \Fc) = 0$ pour $q \in \N^*$. C'est essentiellement la même situation que dans le lemme dans la preuve du théorème de finitude, et la preuve est identique : la première égalité se vérifie directement au niveau des préfaisceaux, et l'annulation de la cohomologie se démontre fibre par fibre, les fibres au-dessus d'un point venant de $X$ étant triviales, et celles au-dessus d'un point de $X_1 \backslash X$ admettant pour faisceau induit le faisceau nul.

Il faut encore justifier que la cohomologie à support propre telle que définie est fonctorielle, c'est-à-dire que si l'on a une composition $h = g \circ f$, $ X \overset{f}{\to} Y $, $ Y \overset{g}{\to} Z $, trois factorisations par une immersion ouverte et un morphisme propre, $f = f' \circ \overline{f}$, $g = g' \circ \overline{g}$, $h = h' \circ \overline{h}$, et un faisceau de torsion $\Fc$, alors on a la relation suivante :
$$ h'_* \overline{h}_!(\Fc) = g'_* \overline{g}_! f'_* \overline{f}_!(\Fc) $$ En dérivant cette égalité, on en déduira la relation $R_{ét!} h(\Fc) = R_{ét!} g \circ R_{ét!} f(\Fc)$.
On considère d'abord le cas où $f$ est un morphisme propre et $g$ une immersion ouverte. Dans ce cas on a un diagramme commutatif
\begin{CD} X @>\overline{h}>> S \\ @VfVV @Vh'VV \\ Y @>g>> Z \end{CD} et la relation $ h'_* \overline{h}_!(\Fc) = g_! f_*(\Fc) $ se démontre directement, car on est dans la même situation que dans le paragraphe précédent ou encore dans le lemme apparaissant dans la preuve du théorème de finitude.
Le cas général va s'y ramener. On peut considérer le morphisme $k = \overline{g} \circ f'$. Si l'on introduit une factorisation $k = k' \circ \overline{k}$ où $\overline{k}$ est une immersion ouverte et $k'$ un morphisme propre, alors par le cas précédent on a la relation $ k'_* \overline{k}_! = \overline{g}_! \circ f'_* $. Par ailleurs la décomposition de $k$ permet d'écrire une nouvelle décomposition de $h$ : $h = g \circ f = g' \circ \overline{g} \circ f' \circ \overline{f} = g' \circ k' \circ \overline{k} \circ \overline{f}$, et par indépendance de la cohomologie à support propre de la factorisation, comme prouvé au paragraphe précédent, on a $ h'_* \overline{h}_! = (g' \circ k')_* \circ (\overline{k} \circ \overline{f})_! $. En combinant le résultat pour $k$ avec cette égalité, on obtient la relation souhaitée.

Maintenant que l'on a bien défini un foncteur de cohomologie à support propre, détaillons certaines de ses propriétés. La première se déduit du théorème de changement de base pour un morphisme propre et de la définition de la cohomologie à support propre :

Proposition - changement de base pour la cohomologie à support propre

On considère un diagramme commutatif de morphismes de schémas de la forme
\begin{CD} X \times_S S' @>g'>> X \\ @Vf'VV @VfVV \\ S' @>g>> S \end{CD} où $S$ et $S'$ sont quasi-compacts et quasi-séparés, et $f$ est séparé de type fini. Alors pour tout $i \in \N$ et pour tout faisceau étale de torsion $\Fc$ sur $X$,
$$ g^* \circ R_{ét!}^i f (\Fc) \simeq R_{ét!}^i f' \circ g'^*(\Fc) $$

Ce théorème de changement de base pour la cohomologie à support propre implique en particulier que pour montrer l'annulation de la cohomologie relative à support propre, il suffit de comprendre la cohomologie à support propre de ses fibres. Combiné au théorème d'annulation, il implique le résultat suivant :

Proposition

Soit $S$ un schéma quasi-compact et quasi-séparé, et $f : X \to S$ un morphisme séparé, de type fini, plat de dimension relative $d$, et $\Fc$ un faisceau étale de torsion sur $X$. Alors $R_{ét!}^i f(\Fc) = 0$ pour $i > 2d$.

On démontre aussi l'égalité suivante dont on aura besoin pour définir le morphisme trace :

Proposition

Soient $X \overset{f}{\to} Y \overset{g}{\to} Z$ une suite de morphismes composables, séparés, de type fini, plats de dimension relatives respectives $d$ et $d'$, avec $Y$ et $Z$ quasi-compact et quasi-séparés. Alors $g \circ f$ est aussi séparé, de type fini, plat de dimension relative $d+d'$, et pour tout faisceau étale de torsion $\Fc$ sur $X$ on a
$$ R_{ét!}^{2(d+d')} (g \circ f) (\Fc) = R_{ét!}^{2d'} g \circ R_{ét!}^{2d} f(\Fc) $$

▼ Preuve

On écrit des décompositions $f = f' \circ \overline{f}$, $g = g' \circ \overline{g}$, $g \circ f = h = h' \circ \overline{h}$ où $f'$, $g'$, $h'$ sont propres, $\overline{f}$, $\overline{g}$ et $\overline{h}$ sont des immersions ouvertes. Par fonctorialité de la cohomologie à support propre, on a
$$ h'_* \circ \overline{h}_! = g'_* \circ \overline{g}_! \circ f'_* \circ \overline{f}_! $$ Cela, combiné au fait que les foncteurs $\overline{f}_!$, $\overline{g}_!$ et $\overline{h}_!$ sont exacts, permet d'écrire une suite spectrale convergente
$$ R_{ét!}^p g \circ R_{ét!}^q f = R_{ét}^p (g'_* \circ \overline{g}_!) \circ R_{ét}^q (f'_* \circ \overline{f}_!) \implies R_{ét}^{p+q} (h'_* \circ \overline{h}_!) = R_{ét}^{p+q} h $$ Or par la proposition précédente, tous les termes sont nuls sont contenus dans un carré de côtés $2d$ et $2d'$. Le terme pour $p=2d'$, $q=2d$ est le coin en haut à droite de ce carré, ainsi il est seul sur sa diagonale et il reste inchangé par passage à la page suivante. D'où le résultat.

Rappelons que le résultat que l'on souhaite prouver, la dualité de Poincaré en cohomologie étale, prend la forme d'un accouplement parfait
$$ H_{ét}^{2d-i}(X, \Z/n\Z) \times H_{ét!}^i(X, \Z/n\Z) \to H_{ét!}^{2d}(X, \Z/n\Z) $$ pour tout $i \in \N$, $X$ une variété lisse de dimension $d$ sur un corps algébriquement clos, et avec l'information supplémentaire que l'on a un isomorphisme canonique $H_{ét!}^{2d}(X, \Z/n\Z) \simeq \mu_n^{\otimes -d}$ où $\mu_n = \underline{\Hom}(\Z/n\Z, G_m)$ est le faisceau des racines $n$-èmes de l'unité, et le produit tensoriel est sous-entendu sur $\Z/n\Z$.
On a en fait une forme encore plus générale de ce résultat : si $\Fc$ est un faisceau annulé par la multiplication par $n$, alors on a un accouplement parfait
$$ H_{ét}^{2d-i}(X, \underline{\Hom}(\Fc, \Z/n\Z)) \times H_{ét!}^i(X, \Fc) \to H_{ét!}^{2d}(X, \Z/n\Z) $$ Utilisant l'isomorphisme $H_{ét!}^{2d}(X, \Z/n\Z) \simeq \mu_n^{\otimes d}$, puis faisant passer $\mu_n$ de l'autre côté, cela se réécrit
$$ H_{ét}^{2d-i}(X, \underline{\Hom}(\Fc, \Z/n\Z) \otimes \mu_n^{\otimes d}) \times H_{ét!}^i(X, \Fc) \to \Z/n\Z $$ Autrement dit, on a un isomorphisme
$$ H_{ét}^{2d-i}(X, \underline{\Hom}(\Fc, \Z/n\Z(d))) \simeq \Hom(H_{ét!}^i(X, \Fc), \Z/n\Z) $$ où, suivant SGA4, on note $\Fc(d)$ pour le produit tensoriel de $\Fc$ par $\mu_n^{\otimes d}$. L'ensemble des ces isomorphismes pour $i \in \N$ constitue un isomorphisme entre deux complexes :
$$ H_{ét} \circ R\underline{\Hom}(\Fc, \Z/n\Z(d)[2d]) \simeq R\underline{\Hom}(H_{ét!}(\Fc), \Z/n\Z) $$ où par $[2d]$ on entend le décalage de $2d$ dans la catégorie dérivée. Cette version de la dualité se généralise encore à une situation relative, c'est-à-dire en remplaçant le morphisme structural $X \to k$ par un morphisme $f : X \to Y$ lisse quelconque, et $\Fc$ et $\Z/n\Z$ par des complexes de $\Z/n\Z$-modules $K$ et $L$ quelconques sur $X$ et $Y$ respectivement. La version générale s'écrit :
$$ H_{ét} \circ R\underline{\Hom}(K, f^*L(d)[2d]) \simeq H_{ét} \circ R\underline{\Hom}(R_{ét!} f(K), L) $$ où on prendra garde que le $\Hom$ interne dérivé et la cohomologie étale apparaissant de chaque côté sont sur des espaces différents. Cette égalité s'interprète comme la version dérivée selon $L$ d'une égalité d'adjonction :
$$ \Hom(K, f^*L(d)[2d]) \simeq \Hom(R_{ét!} f(K), L) $$ qui affirme donc que, pour un morphisme lisse, $R_{ét!} f$ admet un adjoint à droite qui est donné par la formule $f^*(d)[2d]$. Il est en fait possible de définir à priori un adjoint à droite, noté $R_{ét}^! f$ de $R_{ét!} f$, sans hypothèse de lisseté, en montrant que $R_{ét!} f$ commute aux colimites (mais c'est, contrairement à ce qu'on pourrait croire, difficile !). Le foncteur $R_{ét}^! f$ s'appelle le tiré en arrière propre, et n'admet pas en général de formule simple. La dualité s'exprime dans ce cadre comme le calcul du tiré en arrière propre pour un morphisme lisse :

Théorème - de dualité (SGA4 XVIII 3.2.5) (Alexandre Grothendieck, 1963)

Soit $S$ un schéma quasi-compact et quasi-séparé, $f : X \to S$ un morphisme séparé, de type fini, lisse, de dimension relative $d$, et soit $n \in \N^*$. Alors pour tout complexe $L$ dans la catégorie dérivée des $\Z/n\Z$-modules sur $S$, on a
$$ R_{ét}^! f (L) = (f^*L)(d)[2d] $$ avec le morphisme trace $ \Tr_f : R_{ét!}f \circ f^* L(d)[2d] \to L$ comme flèche d'adjonction.

Le morphisme trace, qui réalise l'adjonction, est défini essentiellement de façon unique en garantissant le respect de certaines compatibilités (par changement de base, par composition). Voici l'énoncé précis du théorème le définissant :

Théorème - (SGA4 XVIII 2.9) (Alexandre Grothendieck, 1963)

Il existe une unique manière d'associer à chaque couple $f, \Fc$ où $f : X \to Y$ est un morphisme séparé, de type fini, plat de dimension relative $d$, avec $Y$ quasi-compact et quasi-séparé, et $\Fc$ est un faisceau étale de torsion sur $Y$, dont la torsion est première aux caractéristiques résiduelles de $Y$, un morphisme trace
$$ \Tr_f(\Fc) : R_{ét!}^{2d} f \circ f^*(\Fc(d)) \to \Fc $$ vérifiant les trois conditions de compatibilités suivantes :

à morphisme $f$ fixé, l'application $\Fc \to \Tr_f(\Fc)$ est fonctorielle ;
soit $f : X \to Y, \Fc$ comme ci-dessus, et $g: Y' \to Y$ un morphisme de changement de base avec $Y'$ quasi-compact et quasi-séparé. On a un diagramme commutatif
\begin{CD} X \times_Y Y' @>g'>> X \\ @Vf'VV @VfVV \\ Y' @>g>> Y \end{CD} Celui-ci permet de construire un diagramme de la forme
\begin{CD} R_{ét!}^{2d} f' \circ f'^*(g^* \Fc(d)) @>\sim>> g^* R_{ét!}^{2d} f \circ f^*(\Fc(d)) \\ @V \Tr_{f'}(g^* \Fc) VV @V g^*(\Tr_f(\Fc)) VV \\ g^* \Fc @= g^* \Fc \end{CD} où l'isomorphisme est donné par le théorème de changement de base $g^* \circ R_{ét!}^{2d} (f^* \Fc(d)) \simeq R_{ét!}^{2d} f' \circ g'^*(f^* \Fc(d))$ ainsi que par l'égalité $f \circ g' = g \circ f'$ qui donne $g'^* f^* = f'^* g^*$. Notre deuxième condition de compatibilité consiste à demander la commutativité de ce diagramme ;
soit $X \overset{f}{\to} Y \overset{g}{\to} Z$ une suite de deux morphismes composables, et $\Fc$ un faisceau étale sur $Z$ tels que $(g, \Fc)$ et $(f, g^* \Fc)$ vérifient les hypothèses ci-dessus, avec dimensions relatives respectives $d$ et $d'$. Alors $(g \circ f, \Fc)$ vérifie aussi ces hypothèses, avec dimension relative $d+d'$, et on a le diagramme suivant :
\begin{xy} \xymatrix { R_{ét!}^{2(d+d')} (g \circ f) \circ (g \circ f)^*(\Fc(d+d')) \ar[dd]_{\Tr_{g \circ f}(\Fc)} \ar[r]^\sim & R_{ét!}^{2d'} g \circ R_{ét!}^{2d} f \circ f^*( g^* \Fc(d)(d')) \ar[d]^{R_{ét!}^{2d'} g ( \Tr_f(g^* \Fc(d)) )} \\ & R_{ét!}^{2d'} g \circ g^*(\Fc(d')) \ar[d]^{\Tr_g(\Fc)} \\ \Fc \ar[r] & \Fc } \end{xy} où l'isomorphisme est donné par la troisième proposition ci-dessus. Notre troisième condition de compatibilité consiste à demander la commutativité de ce diagramme ;

et les deux conditions de normalisation suivantes :

si $f$ est un morphisme fini localement libre de rang $n$, le morphisme composé
$$ \Fc \to f_* f^*(\Fc) = f_! f^*(\Fc) \overset{\Tr_f(\Fc)}{\to} \Fc $$ est la multiplication par $n$ ;
si $f : \A_Y^1 \to Y$ est le morphisme structural de la droite affine, alors $\Tr_f(\Fc)$ est l'isomorphisme canonique.

Il convient de préciser ce que l'on entend par "isomorphisme canonique", dans la deuxième condition de normalisation. Le deuxième groupe de cohomologie à support compact de $\A_Y^1$ est égal à celui de $\P_Y^1$. Or la cohomologie d'une courbe projective, lisse, connexe $C$ en le faisceau des racines $n$-èmes de l'unité $\mu_n$ sur $Y$ admet une description canonique, déduite de la théorie de Kummer, et en particulier
$$ H_Y^2(C, \mu_n) \simeq \Z/n\Z $$ Pour $C = \P_Y^1$, c'est ce qu'on entend par isomorphisme canonique dans le cas où $\Fc = \Z/n\Z$. Le cas d'un faisceau $\Fc$ de $\Z/n\Z$-modules quelconque s'en déduit par tensorisation.

On ne décrira malheureusement pas, même brièvement, les preuves de ces deux théorèmes.

Il nous faut encore donner une précision sur la dualité de Poincaré qui sera nécessaire pour la section suivante. On a en cohomologie étale un cup-produit
\begin{array}{rcl} H_{ét}^p(X, \Fc) \otimes_{\Z/n\Z} H_{ét}(X, \mathscr{G}) & \to & H_{ét}^{p+q}(X, \Fc \otimes_{\Z/n\Z} \mathscr{G}) \\ \alpha, \beta & \mapsto & \alpha \smile \beta \end{array} qui est défini de façon générale pour toute cohomologie des faisceaux en reliant le produit tensoriel de deux résolutions injectives de $\Fc$ et $\mathscr{G}$ respectivement à une résolution injective du produit tensoriel $\Fc \otimes \mathscr{G}$. C'est le cup-produit qui induit l'isomorphisme de Künneth :
\begin{array}{rcl} \Oplus{k=0}{p} H_{ét}^k(X, \Fc) \otimes_{\Z/n\Z} H_{ét}^{p-k}(Y, \mathscr{G}) & \simeq & H_{ét}^p(X \times Y, \Fc \otimes_{\Z/n\Z} \mathscr{G}) \\ \alpha, \beta & \mapsto & p_1^* \alpha \smile p_2^* \beta \end{array} Et, comme c'est le cas pour la cohomologie classique, c'est le même cup-produit qui réalise la dualité de Poincaré sur les faisceaux constants :
\begin{array}{rcl} H_{ét}^{2d-i}(X, \Z/n\Z) \times H_{ét!}^i(X, \Z/n\Z) & \simeq & H_{ét!}^{2d}(X, \Z/n\Z) \\ \alpha, \beta & \mapsto & \alpha \smile \beta \end{array} C'est un résultat qui n'est pas évident, et en tout cas pas du tout limpide à partir de la présentation que l'on a faite ci-dessous de la formule de dualité dans un cadre très général, mais qui peut néanmoins être démontré. Dans la section suivante on utilisera à la fois la formule de Künneth et la dualité de Poincaré, et on a besoin de savoir que ces deux isomorphismes sont construits à partir de la même opération.

II.6. Formule des traces

Cette dernière section est consacrée à la formule des traces en cohomologies $\ell$-adiques, sur laquelle, on l'a vu, repose toute l'interprétation cohomologique des conjectures de Weil. On a repoussé ce résultat crucial à la dernière section car la preuve repose sur le théorème de dualité présenté à la section précédente.

La formule des traces de Lefschetz est essentiellement immédiate une fois que l'on a associé à chaque cycle algébrique une classe de cohomologie de façon canonique, et montré une propriété de fonctorialité de cette application classe de cycle. Si l'on a un endomorphisme $f : X \to X$, la formule des traces va alors découler de la fonctorialité pour l'application
$$ \Gamma_f : \left \{ \begin{array}{rcl} X & \to & X \times_k X \\ x & \mapsto & (x, f(x)) \end{array} \right . $$ Les points fixes de $f$ s'interprètent en effet comme l'image inverse par $\Gamma_f$ de la diagonale, et la fonctorialité de l'application classe de cycle va permettre de ramener le calcul du nombre du points fixes au calcul de la classe associée à la diagonale dans $X \times_k X$, calcul pouvant se faire explicitement et qui va faire apparaître les traces sur les groupes de cohomologie.

On fixe dans toute la suite des isomorphismes compatibles $\mu_{\ell^n} \simeq \Z/\ell^n\Z$, ce qui permet d'écrire la formule de dualité directement en cohomologie $\ell$-adique. La construction de la classe de cohomologie associée à un cycle que l'on réalise ci-dessous n'est donc pas tout à fait canonique, puisque dépendante de ce choix.
La construction est la suivante : si $X$ est une variété propre et lisse sur un corps algébriquement clos $k$, et si $Z$ est une sous-variété fermée irréductible de $X$, l'inclusion $i : Z \to X$ induit en cohomologie un morphisme
$$ H_\ell^{2\dim(Z)}(X) \to H_\ell^{2\dim(Z)}(Z) $$ Si l'on compose ce morphisme avec le morphisme trace $ \Tr_Z : H_\ell^{2\dim(Z)}(Z) \to \Q_\ell $, on obtient un élément du dual de $ H_\ell^{2\dim(Z)}(X) $. Par la formule de dualité, cet élément correspond canoniquement à un élément de
$$ H_\ell^{2\codim(Z)}(X) $$ C'est cet élément que l'on appelle la classe de cohomologie associée à $Z$ dans $X$, et que l'on note $\cl_X(Z)$. On étend cette définition par linéarité à tout cycle algébrique sur $X$.

Supposons maintenant que l'on ait un morphisme $g : X \to Y$. Alors $g$ induit un morphisme $g^* : Z^*(Y) \to Z^*(X)$ entre les groupes de classes de cycles, qui dans un cas générique correspond simplement à l'image inverse. Par ailleurs $g$ induit aussi un morphisme $g^* : H_\ell^*(Y) \to H_\ell^*(X)$ entre les groupes de cohomologie, que l'on note de la même façon même s'ils sont définis sur des ensembles très différents. Le résultat central et délicat est le suivant :

Théorème

Soit $k$ un corps algébriquement clos pour lequel on a fixé une orientation, $g : X \to Y$ un morphisme entre deux $k$-variétés projectives lisses, et $Z$ un cycle algébrique sur $Y$. Alors
$$ g^*(\cl_Y(Z)) = \cl_X(g^*(Z)) $$

Comme on l'a rapidement expliqué, la formule des traces est un corollaire de ce théorème appliqué à $Y = X \times_k X$, $g = \Gamma_f$, $Z = \Delta$ la diagonale. Dans ce cas, on a en effet
$$ \cl_X(\Gamma_f^*(\Delta)) = \Gamma_f^*(\cl_{X \times X}(\Delta)) $$ L'hypothèse demandant que les points fixes de $f$ soient isolés sert à s'assurer que l'on est dans le cas générique mentionné plus haut, c'est-à-dire que $\Gamma_f^*(\Delta)$ est simplement l'image inverse, et donc l'ensemble des points fixes de $f$. Dans ce cas, $\cl_X(\Gamma_f^*(\Delta)) \in H^{2\dim(X)}(X) \simeq \Q_\ell$ est le nombre de points de fixes de $f$ comptés avec multiplicités. Pour comprendre l'autre membre de l'égalité, il faut donner une expression de la classe de cohomologie associée à la diagonale. Le point-clé pour cela est d'utiliser l'isomorphisme de Künneth
$$ H_\ell^p(X \times_k X) \simeq \Oplus{k=0}{p} H_\ell^k(X) \otimes_{\Q_\ell} H_\ell^{p-k}(X) $$ qui permet, étant fixé des bases des espaces de cohomologie de $X$, d'exprimer des bases des espaces de cohomologie de $X \times_k X$ comme cup-produits des tirés en arrière des éléments des bases sur $X$. Dans une telle base, la classe de cohomologie associée à la diagonale s'exprime facilement, et plus précisément on a l'énoncé suivant :

Proposition

Soit $k$ un corps algébriquement clos pour lequel on a fixé une orientation, $X$ une $k$-variété projective lisse, $\Delta \subseteq X \times_k X$ la diagonale, $p_1, p_2 : X \times_k X \to X$ les deux projections. On note $d$ la dimension de $X$, et pour tout $i \in \llbracket 1 ; 2d \rrbracket$, on se donne $e^i_j$ une base de $H_\ell^i(X)$, ainsi que $f^i_j$ la base duale de $H_\ell^{2d-i}(X)$. Alors
$$ \cl_{X \times X}(\Delta) = \Sum{i,j}{} p_1^*(f^i_j) \smile p_2^*(e^i_j) $$

On conserve les notations de la proposition. Sur un élément de la base $p_1^*(f^i_j) \smile p_2^*(e^i_j)$, l'action de $\Gamma_f^*$ s'exprime simplement par la formule
$$ \Gamma_f^*(p_1^*(f^i_j) \smile p_2^*(e^i_j)) = f^i_j \smile f^*(e^i_j) $$ Le cup-produit n'étant pas commutatif, cela fait apparaître un signe
$$ f^i_j \smile f^*(e^i_j) = (-1)^{i(2d-i)} f^*(e^i_j) \smile f^i_j = (-1)^i f^*(e^i_j) \smile f^i_j $$ Mettant tout ensemble, on trouve donc
$$ \cl_X(\Gamma_f^*(\Delta)) = \Sum{i,j}{} \Gamma_f^*(p_1^*(f^i_j) \smile p_2^*(e^i_j)) = \Sum{i=0}{2d} (-1)^i \Sum{j}{} f^*(e^i_j) \smile f^i_j $$ Maintenant rappelons-nous que, pour $i$ fixé, $f^i_j$ est par définition la base duale de $e^i_j$. Autrement dit, on a
$$ e^i_k \smile f^i_j = \left | \begin{array}{ll} 1 & \text{ si } k = j \\ 0 & \text{ sinon} \end{array} \right . $$ Ainsi si l'on exprime $f^*(e^i_j)$ en fonction des $e^i_k$, le cup-produit avec $f^i_j$ va laisser seulement le coefficient pour $k = j$, et donc la somme sur $j$ fait apparaître comme par magie la trace de $f$ sur $H_\ell^i(X)$. On obtient enfin la tant désirée :

Théorème - formule des traces de Lefschetz (SGA5 IV, rédigé comme SGA4$\frac{1}{2}$ Cycle 3.7) (Alexandre Grothendieck, 1963)

Soit $X$ une variété propre et lisse sur un corps algébriquement clos $k$, $f$ un endomorphisme de $X$ dont tous les points fixes sont isolés. Alors son nombre de points fixes, comptés avec multiplicités, est donné par la formule
$$ \Sum{i \in \N}{} (-1)^i \Tr(f | H_\ell^i(X)) $$

Bibliographie

Première partie.: The Riemann Hypothesis in Characteristic p in Historical Perspective, par Peter Roquette, 3 juillet 2018. https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~roquette/2017rv_with_pictures.pdf; (pour les paragraphes introductifs) Strategical use(s) of arithmetic in Richard Dedekind and Heinrich Weber’s Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen, par Emmylou Haffner, 2017. Historia Mathematica.; (pour la preuve de la borne de Hasse) The Arithmetric of Elliptic Curves, par Joseph H. Silverman, 2008. Springer. Deuxième édition.; (pour la preuve de la borne de Hasse-Weil) The Weil Conjectures for Curves, par Caleb Ji, 2021. https://math.columbia.edu/~calebji/RH-curves.pdf
Deuxième partie.: Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963-64 (SGA4) : Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, par Michael Artin, Alexandre Grothendieck et Jean-Louis Verdier, avec la collaboration de Nicolas Bourbaki, Pierre Deligne et Bernard Saint-Donat, 1972-1973. Version TeX collaborative, téléchargeable à cette adresse.; Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie SGA4$\frac{1}{2}$, par Pierre Deligne, avec la collaboration de Jean-François Boutot, Alexandre Grothendieck, Luc Illusie et Jean-Louis Verdier, 1977. Springer.; (pour la dernière section) Etale Cohomology and the Weil Conjecture, par Eberhard Freitag et Reinhardt Kiehl, 1980. Springer.